مسألة مونتي هول

كتب ستيف سيلفين رسالة إلى أمريكان ستاتيستيشين (بالإنجليزية: The American Statistician)‏ في عام 1975 يصف فيها بأن المسألة تعتمد بشكل مطلق على برنامج الألعاب "دعونا نعقد صفقة Selvin 1975a". ثم أطلق على هذا المسألة في رسالة لاحقة اسم "مسألة مونتي هول" (Selvin 1975b). المسألة هي مكافئة رياضياتية (Morgan et al., 1991) لمسألة السجناء الثلاثة التي وصفت في عمود الألعاب الرياضياتية لمارتن غاردنر في ساينتفك أمريكان في 1959 (Gardner 1959a).

أُعيدت صياغة مسألة مونتي هول إلى شكلها المشهور بواسطة سيلفين في رسالة إلى عمود أسأل مارلين (بالإنجليزية: Ask Marilyn)‏ لمارلين فوس سافانت في مجلة باريد:

هناك بعض الغموض في صياغة هذه المسألة: فهي لم توضح فيما إذا كان على المضيف دائماً أن يفتح باباً آخراً أو لا، أو هل عليه دائماً أن يعرض الفرصة للاعب للقيام بالتغيير، أو هل يمكن للمضيف فتح الباب الذي يوجد وراءه السيارة أو لا (Mueser and Granberg 1999). يفترض التحليل المعياري لهذه المسألة بأن المضيف دائماً مقيد بفتح الباب الذي وراءه الماعز، وهو مجبر أيضاً بالعرض على اللاعب فرصة لتغيير أختياره، ويُجبر أيضاً بفتح واحد من البابين المتبقيتين بشكل عشوائي إذا اختار اللاعب الباب الذي وراءه السيارة (Barbeau 2000:87). ولذلك سيكون التعبير الأكثر دقةً للمسألة هو كالتالي:

لاحظ بأن اللاعب قد يختار مبدئياً أي من الأبواب الثلاثة (ليس فقط الباب ذو الرقم 1)، ولاحظ بأن المضيف سيفتح لك باباً آخر كاشفاً لك الماعز (ليس بالضرورة بأن يكون الباب ذو الرقم 3)، ولاحظ بأنه سيعطي للاعب فرصة ثانية بين البابين المفتوحين المتبقيين. فمهما أختلف أرقام الأبواب، فهي ستؤدي في النهاية إلى نفس النتيجة.

توضع السيارة والماعزتين خلف الأبواب الثلاثة، بحيث يوضع السيارة بشكل عشوائي خلف أحد الأبواب وتوزع الماعزتين خلف البابين المتبقيين، ثم يختار اللاعب أحد الأبواب مبدئياً. في التحليل الشعبي، يكون أرقام الأبواب غير مأخوذة في عين الاعتبار؛ حيث لدى اللاعب، الذي قد اختار احدى هذه الأبواب، 1/3 فرصة لربح السيارة، ولديه أيضاً 1/3 فرصة للفوز لكل ماعز. من المفترض بأنه إذا فتح المضيف أحد الأبواب المتبقية لكشف الماعز، فلن يكون هناك أي معلومة جديدة حول ما وراء الباب الذي قد أختاره اللاعب، لأن "البايزية السليمة" (بالإنجليزية: proper Bayesian)‏ ترى ان احتمالية كون السيارة خلف الباب الذي اختاره هي 1/3، لكن تكون احتمالية العثور على السيارة خلف الباب المتبقي هو 2/3. لذلك إذا غير اللاعب اختياره ستكون فرصة فوزه بالسيارة عالية مع فرصة مقدارها 2/3. لذلك على اللاعب دائماً أن يقوم بتغيير الباب الذي اختاره مسبقاً (Wheeler 1991; Mack 1992; Schwager 1994; vos Savant 1996:8).

1. يكشف المضيف إحدى المواعز اللاعب يختار السيارة (احتمال 1/3) يقع التغيير على الماعز الآخر. 2. يجب على المضيف كشف الماعز B يختار اللاعب الماعز A (احتمال 1/3) يفوز بالتغيير. 3. يجب على المضيف كشف الماعز A يختار اللاعب الماعز B (احتمال 1/3) يفوز بالتغيير.

لدى اللاعب فرصة متساوية من الاختيارات المبدئية للفوز بالسيارة، أو بالماعز A، أو بالماعز B. وبالتالي، يؤدي تغييره لاختياره إلى الفوز بفرصة مقدارها 2/3 مرة.

الأساليب الموجودة في الأعلى تنطبق على جميع اللاعبين في بداية اللعبة بغض النظر عن أي باب سيختاره المضيف، وعلى وجه التحديد، قبل أن يفتح المضيف الباب ويعطي للاعب الخيار بتغيير اختياره (Morgan et al. 1991). هذا يعني أنه لو اختار عدد كبير من اللاعبين الأبواب عشوائياً وخُيّر لهم بإما الإبقاء على إختيراهم أو تغييرها، فسيكون هناك قرابة 1/3 منهم سيختارون البقاء على أختيارهم المبدئي و 2/3 منهم سيختارون التغيير للفوز بالسيارة. تم التحقق من هذه النتيجة تجريبياً وذلك باستعمال الحواسيب وتقنيات المحاكاة الأخرى (أنظر المحاكاة في الأسفل). ومع ذلك، ينتقد بعض الإحصائيين هذا الحل لأن هذا الجواب يكون خاطئاً للمسألة التي تم ذكرها في الأعلى، بالإضافة إلى أنها لا تُفيَم احتمال اللاعب بالفوز بالتغيير في ضوء المعلومات الإضافية التي أُعطيت من الباب الذي فتحه المضيف كاشفاً الماعز. فعلى سبيل المثال وكما ذُكر في المسألة، إذا أختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 والمضيف فتح الباب ذو الرقم 3؛ فمن المحتمل أن يقدم الباب الذي فتحه المضيف معلوماتاً أكثر للاعب عن احتمالية كون السيارة خلف الباب الذي أختاره اللاعب أصلاً، هذا إذا كان لدى اللاعب نموذج احتمالي لكيفية اختيار المضيف للأبواب عندما يختار اللاعب الباب الذي وراءه السيارة.

تحت تأثير بعض المجموعات من الافتراضات في اللعبة، التي من ضمنها اختيار المضيف عشوائياً بين البابين المتبقيين بنسب احتمالية متساوية، فلن يحصل المتسابق على أي معلومات جديدة التي تجعله يفوز باحتمال 1/3 بالبقاء على الأختيار المبدئي (Granberg 1996)، وبالتالي ينطبق هذا الحل أيضاً بشكل صحيح على القرارات وعلى احتمالات الفوز بعد أن يفتح المضيف الباب الذي وراءه ماعز. وكذلك، إذا كانت الشروط أكثر عمومية، إياُ كانت، فسوف نحتاج أيضاً إلى حلول أكثر عمومية (Morgan et al. 1991).

الحل الشعبي الذي ذُكر في الأعلى يقول بأن احتمال الفوز لأي لاعب يقوم بتغيير اختياره المبدئي إلى اختيار آخر هو 2/3، ولكن هذا لا يعني بالضرورة بأن يكون احتمالية الفوز بالتغيير هي 2/3 دائماً فهذه الاحتمالية تعتمد على الباب الذي سيفتحه المضيف. هذه الاحتمالية هي نوع من الاحتمالات الشرطية (Morgan et al. 1991; Gillman 1992; Grinstead and Snell 2006:137). فالاختلاف موجود فقط في التحليل المذكور في الأعلى، فيما إذا كان التحليل يأخذ جميع السيناريوهات بعين الاعتبار أو فقط السيناريوهات التي يفتح فيها المضيف باباً محدداً. أو بتعبير مختلف، هل يأخذ التحليل بعين الاعتبار الوقت الذي يقوم فيه اللاعب بتغيير اختياره، أي قبل أن يفتح المضيف الباب، أو أنه سيقرر بعد رؤية الباب الذي سيفتحه المضيف (Gillman 1992). الاحتمال الشرطي قد يختلف عن الاحتمال الإجمالي وذلك اعتماداً على الصيغة الدقيقة للمسألة.

مخطط شجري يعرض النتائج المحتملة فيما إذا اختار اللاعب مبدئياً الباب ذو الرقم 1

الاحتمالات الشرطية للفوز يمكن أن تُعرف وذلك اعتماداً على أي باب سيفتحه المضيف، فالشكل الموسع الموجود أدناه أو المخطط الشجري الموجود في اليسار يمكن أن تبين احتمالات الفوز والقرارات المتكافئة (Chun 1991; Grinstead and Snell 2006:137-138). فعلى سبيل المثال، إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3 وغير اللاعب اختياره، فإن اللاعب سيفوز باحتمالية إجمالية مقدارها 1/3 إذا كانت السيارة خلف الباب ذو الرقم 2 وسيخسر باحتمالية إجمالية مقدارها 1/6 إذا كانت السيارة موجودة خلف الباب ذو الرقم 1 —هذا الشرح سيكون خاطئاً إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 2-. لكي نقوم بتحويلها إلى احتمالات شرطية، علينا أن نقوم بتقسيمها على مجموعها، وبالتالي يكون الاحتمال الشرطي للفوز بالتغير عندما يختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 وعندما يفتح المضيف الباب ذو الرقم 3 هي (1/3)/(1/3 + 1/6)، التي تساوي 2/3. هذا التحليل يعتمد على تقييد المضيف الذي ذُكر في حالة المسألة الواضحة عندما يختار اللاعب السيارة مبدئياً، ويضظر فيها بأن يختار أي باب عشوائياً ليقوم بفتحه.

لقد عرض مورغان وآخرون (1991) وجيلمان (1992) حل أكثر عموماً وذلك عندما يكون فيه المضيف غير مقيد بالاختيار عشوائياً إذا اختار اللاعب السيارة مبدئياً، وقاما يتفسير واضح لللتعبير المشهور للمسألة التي ذُكرت في مجلة باريد. ففيها يعبران عن السيناريو الذي سيختار فيه المضيف الباب الذي يحب عليه أن يفتحه، ورمزا الأفضلية بالاحتمال q، التي تمتلك قيمة بين 0 و 1. إذا اختار المضيف عشوائياً فأن q سيكون بمقدار 1/2 ويكون احتمالية الفوز بالتغيير هو 2/3 بغض النظر عن أي باب سيفتحه المضيف. وإذا اختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 فإن أفضلية المضيف للباب 3 هي q، إذاً، في حالة فتح المضيف للباب ذو الرقم 3 سيكون الاحتمال الإجمالي للفوز بالتغيير هو 1/3 هذا إذا كانت السيارة خلف الباب ذو الرقم 2، ويكون الاحتمال الإجمالي للخسارة هو (1/3)q عندما تكون السيارة خلف الباب ذو الرقم 1. إن الاحتمال الشرطي للفوز بالتغيير الذي يختار فيه المضيف الباب ذو الرقم 3 هو (1/3)/(1/3 + (1/3)q) التي تُبسط إلى 1/(1+q). حيث يكون q متراوحة بين 0 و 1 وبالتالي يتراوح الاحتمال الشرطي هنا بين 1/2 و 1. هذا يعني أنه حتى ولو لم نقم بتقييد المضيف بالاختبار العشوائي إذا أختار اللاعب مبدئياً السيارة، فإن اللاعب ليس أسوأ حالاً عندما يقوم بالتغيير.

السيارة مختبئة خلف الباب ذو الرقم 3	السيارة مختبئة خلف الباب ذو الرقم 1		السيارة مختبئة خلف الباب ذو الرقم 2
اللاعب يختار مبدئياً الباب ذو الرقم 1
يجب على المضيف فتح الباب ذو الرقم 2	المضيف يفتح أحد الأبواب عشوائياً التي يوجد خلفها الماعز		يجب على المضيف فتح الباب ذو الرقم 3
احتمال 1/3	احتمال 1/6	احتمال 1/6	احتمال 1/3
يفوز بالتغيير	يخسر بالتغيير	يخسر بالتغيير	يفوز بالتغيير
إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 2، فإن احتمال الفوز بالتغيير هي الضعف عندما يبقى على اختياره		إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3، فإن احتمال الفوز بالتغيير هي الضعف عندما يبقى على اختياره

عندما عرضت مسألة مونتي هول لأول مرة كانت الأغلبية الساحقة من الناس قد افترضت بأن لدى كل باب احتمال متساوي والنتيجة هي أن تغيير اختيارهم الأولي لا يؤثر على النتيجة (Mueser and Granberg, 1999). في إحدى الدراسات، تم اختبار 228 شخص في هذه المسألة، وكانت النتيجة هي أن 13% منهم فقط قد قرروا بتغيير اختيارهم المبدئي إلى خيار آخر (Granberg and Brown, 1995:713). اقتبست فوس سافانت في كتابها قوة التفكير المنطقي (بالإنجليزية: The Power of Logical Thinking)‏، (في 1996:15) ما قاله عالم النفس الإدراكي ماسيمو بياتيللي-بالماريني "... بأنه لا يوجد هناك لغز إحصائي آخر يقترب كل ذلك القرب من خداع جميع الناس طوال ذلك الوقت" و"حتى إن فيزيائيين الذين حصلوا على جائزة نوبل يعطون الإجابة الخاطئة بشكل نظامي، وهم أيضاً يصرون عليها، ويكونون مستعدين أيضاً لجميع أنواع التوبيخ التي سيتلقونها في مطبوعات أولئك الذين يقترحون الجواب الصحيح."

كما إن أكثر تعابير هذه المسألة، وخصوصاً تلك التعبير التي ذُكرت في مجلة باريد، لا تتطابق مع قوانين برنامج الألعاب الحقيقي (Krauss and Wang, 2003:9)، ولا توصف سلوك المضيف بشكل كامل، حتى أنها لم تذكر بأن موقع السيارة عشوائي (Granberg and Brown, 1995:712). توقع كلاً من كراوس ووانغ (2003:10) بأن الناس يقومون بافتراضات معيارية وحتى وإن لم يذكروها صراحةً. فبالرغم من أن هذه القضايا لها أهمية رياضياتية كبيرة، إلا أنه حتى ولو تحكمنا بتلك العوامل فسيبقى تقريباًً كل الناس يعتقدون بأن لكل باب غير مفتوح له احتمال متساوي، ويكون اختيارهم هو أن التغيير لا يؤثر على النتيجة (Mueser and Granberg, 1999). إن افتراض "الاحتمالات المتساوية" لها جذور بديهية (Falk 1992:202). يميل الكثير من الناس بقوة بان الاحتمالات موزعة بالتساوي سواءً كانت تلك الأبواب مجهولة أو كانت معلومة (Fox and Levav, 2004:637).

إن هذا النوع من الحدسيات لها جذور عميقة في البديهيات التي نحدث في مسابقة مسألة مونتي هول، والتي هي عبارة عن الاعتقاد بإن المعلومات التي تظهر في إثناء المسابقة لن تقوم بتغيير قيم الاحتمالات المعروفة مسبقاً (Falk 1992:207). لذلك يكون هذا الحدس هو الأساس لوجود هذه المسألة التي تقوم بإثبات بأن المضيف إذا فتح باباً فلن يعتقد اللاعب بأن الاحتمال 1/3 سيتغير. إذا تم ذكر المسألة بشكل كامل، فإن هذا الافتراض الخاطيء سيقود إلى الجواب الصحيح عددياً، فمثلاُ هناك فرصة مقدارها 2/3 للفوز بالسيارة عن طريق التغيير، لكنها تقود إلى نفس الحل إذا أُعطيت متغيرات أكثر حيث يكون خيار التغيير جواباً غير صحيح (Falk 1992:207).

إن المصدر الآخر للارتباك هو سؤال الصياغة المعتادة للتعبير هذه المسألة عن الاحتمال الشرطي للفوز، مع معرفة أي باب سيفتحه المضيف، بدلاً من أن تسأل عن الاحتمال الإجمالي أو اللاشرطي. هذه المسائل تكون مختلفة رياضياتياً ويمكن أن تكون لها أجوبة مختلفة اعتماداً على كيفية اختيار المضيف لأي باب سيقوم بفتحه إذا اختار اللاعب السيارة مبدئياً (Morgan et al., 1991; Gillman 1992). فعلى سبيل المثال، إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3 -أياً كان الباب الذي سيختاره اللاعب- فسيكون احتمال الفوز بالتغيير للاعب الذي يختار الباب ذو الرقم 1 مبدئياً هو 2/3 إجمالياً، ولكنها ستصبح 1/2 إذا اختار اللاعب الباب ذو الرقم 3. لم تحدد صيغة هذه المسألة المعتادة كل هذه التفاصيل لسلوك المضيف، جاعلةً الإجابة هي أن الفوز بالسيارة عن طريق التغيير هي 2/3 دون أي مبرر رياضياتي. تعالج العديد من الحلول الشائعة التي تمت اقتراحتها مسبقاُ الاحتمال اللاشرطي، متجاهلةُ الباب الذي سيفتحه المضيف؛ لكن مورغان وآخرون سموا هذه الحلول "بالحلول الخاطئة" (1991).

إن أقدم لغز احتمالات التي لها علاقة بمسألة مونتي هول هي مفارقة صندوق بيرتراند، التي قام بها جوزيف بيرتراند في عام 1889 في مطبوعته حساب الاحتماليات (Barbeau 1993). في هذا اللغز نجد ثلاثة صناديق: صندوق يحتوي على عملتين ذهبيتين، وصندوق آخر يحتوي على عملتين فضيتين، وصندوق آخر يحتوي على عملة ذهبية وعملة فضية. بعد اختيار أحد الصناديق عشوائياً وأخذ عملة واحدة منها عشوائياً ليتبين لنا أنها ذهبية، سيكون السؤال هو ما احتمالية أن تكون العملة الأخرى ذهبية؟ كما في مسألة مونتي هول، يكون الجواب البديهي هو 1/2، لكن الحقيقة هي أن الاحتمالية تساوي 2/3.

إن مسألة السجناء الثلاثة، التي نُشرت في عمود الألعاب الرياضياتية لمارتن غاردنر' في ساينتفك أمريكان في 1959 (1959a، 1959b)، تشابه لحد كبير مسألة مونتي هول. يوجد في هذه المسألة ثلاثة سجناء لكل واحد منهم اسم مستعار، تم اختيار أحدهم وأعفي عنه بشكل سري. يطلب أحد السجناء الثلاثة من الحارس بأن يخبره عن اسم أحد الشخصين الآخرين الذي سيتم إعدامه، فلنفترض جدلاً بأن الحارس سيوافق حيث إن ذاك السجين قد أقنعه بأن كشفه للاسم لن يقدم أي معلومات عن مصير ذاك السجين إلا أنها ستزيد فرصته بأن يكون المعفو عنه من 1/3 إلى 1/2. يوافق الحارس، وبعد ذلك يرمي (و بشكل سري) عملة ليقرر أي اسم سيخبره إذا كان السجين الذي سأل هو المعفو عنه. السؤال هو إذا عرفنا جواب الحارس هل سيتغير فرصة السجين ليكون المعفو عنه؟ هذه المسألة مكافئة لمسألة مونتي هول؛ يبقى للسجين الذي سأل السؤال 1/3 فرصة ليكون المعفو عنه لكن لدى رفيقه الذي لم يُذكر اسمه 2/3 فرصة.

طرح ستيف سيلفين مسألة مونتي هول في زوج من الرسائل إلى دورية أمريكان ستاتيستيشين في 1975 (1975a، 1975b). تقوم الرسالة الأولى بعرض المسألة في نسخة تشابه المسألة المذكورة في مجلة باريد التي أتت بعد 15 عام من أرسالها. أما الرسالة الثانية فقد ظهر فيها الاستعمال الأول لمُسمى "مسألة مونتي هول". في الواقع هذه المسألة مأخوذة من برنامج الألعاب. يقوم مونتي هول بفتح الباب الخاطئ لإغراء اللاعب، لكنه -في هذه المرة- سيعرض على اللاعب جائزة مالية أقل من الجائزة الرئيسية —على سبيل المثال $100 نقداً— بشرط ألا يقوم بتغيير الأبواب. وكما كتب مونتي هول إلى سيلفين:

وإذا لم تأخذ أبداً بعروضي، ستزداد قواعد اللعبة عليك صرامةً— لذلك لا تقوم بالتفيير بعد الاختيار.(Hall 1975)

نُشرت إحدى النسخ المسألة في قسم الألغاز لدورية المنظورات الاقتصادية، وهذه النسخة تشبه كثيراً لما هو مذكور في مجلة باريد التي أتت بعدها بثلاثة سنوات في عام 1987 (Nalebuff 1987).

قدمت المقالة التي كتبها فيليب مارتن في عام 1989 في إحدى أعداد مجلة بريدج توداي بعنوان "فخ مونتي هول" (Martin 1989) مسألة سيلفين، مع ذكر الحل الصحيح، والتي أعتبرها كمثال لكيفية سقوط اللاعب في فخ معالجة المعلومات اللا-عشوائية كما لو كانت عشوائية. من ثم أعطى مارتن بعض الأمثلة الموجودة في لعبة الجسر حيث يسيئ اللاعبون عادةً تقدير الاحتمالات، وذلك بالسقوط في نفس الفخ، مبدأ الاختيار المقيد هي أحد تلك الأمثلة. في السنة التالية ونظراً للجدل الذي قد نشأ حول هذه المسألة، صرح مارتن بعدم قدرته على علم الغيب عندما قال، "هنا [في مسألة مونتي هول] يمكن أن نكتشف الفخ بسهولة. لكن يمكن للفخ أن يقوى أكثر وبخبث في وضع لعبة الجسر."

ظهرت النسخة المعدلة لمسألة سيلفين في عمود سؤال-و-جواب أسأل مارلين لمارلين فوس سافانت في مجلة باريد سبتمبر في عام 1990 (vos Savant 1990). بالرغم من أن فوس سافانت أعطت الإجابة الصحيحة بأن التغيير يؤدي إلى الفوز باحتمال مقداره ثلثين، إلا أنها أستقبلت ما يقارب 10,000 رسالة ومن ضمنها ما يقارب 1,000 رسالة موقعة من أشخاص لديهم شهادة الدكتوراة، العديد من هذه الرسائل هي خطابات قادمة من أقسام الرياضيات والعلوم الطبيعية، وبالتالي، أعلنت فوس سافانت بأن حلها كان خاطئاً (Tierney 1991). وبسبب هذه الردود الساحقة، نشرت مجلة باريد أربعة أعمدة لم يسبق لها مثيل حول هذه المسألة (vos Savant 1996:xv). ونتيجةً لهذه الشعبية، أُستخدم اسم بديل للمسألة -مارلين والمواعز.

في نوفمبر عام 1990، وعلى نفس قدر الجدال الحاصل من مقالة فوس سافانت، حدث نقاش طويل في عمود سيسيل ادامز المسمى ذا سترايت دوب (Adams 1990). أجاب فيه ادامز، وبشكل خاطئ، بأن فرص الأبواب المتبقية هي واحد من أثنين -أي بمقدار النصف. بعد أن كتب القراء الرسائل لتصحيح العمليات الرياضياتية التي كانت موجودة في تحليل ادامز، أقر ادامز بأنه أخطأ في تلك العمليات، لكنه قال بأن نسخة باريد تركت بعض القيود الحرجة بدون أن تقوم بذكرها، وبدون هذه القيود، لن تكون بالضرورة فرصة الفوز بالتغيير هي 2/3. كتب الكثير من القراء رسائل مدعين فيها بأن ادامز "محقاً ولأول مرة" وأن الفرصة الحقيقية للفوز هي واحد من أثنين.

حظي عمود باريد والردود عليها اهتماماً كبيراً من قبل الصحافة، حتى أنها تمت كتابة قصة حول هذا العمود في الصفحة الأولى من جريدة نيويورك تايمز (Tierney 1991) وقد أٌُستقبل فيها مونتي هول نفسه. وكان يبدو مدركاً للمسألة بشكل جيد، حيث أنه أجرى عرض تجريبي بمفاتيح السيارة أمام الصحفي، وقد قام بشرح كيف أن اللعبة في برنامج فلنعقد صفقة Let's Make a Deal مختلفة عن قواعد الألغاز الأخرى.

كما تم نشر أكثر من 40 ورقة دراسية حول هذه المسألة في الدوريات الأكاديمية وفي الصحافة العامة(Mueser and Granberg 1999).

تستمر المسألة في الظهور خارجاً عن الدراسات الأكاديمية. تتميز برنامج NPR المتزامن كار توك "بألغازها" الأسبوعية، حيث يظهر الجواب مشروح بشكل واضح في الأسبوع اللاحق، وقد تم عرض حلقة خاصة لهذه المسألة (Magliozzi and Magliozzi, 1998). ذكر الرياضياتي باول إيردوس هذه المسألة مع القيام بأول محاولة له لحلها بالحسابات الرياضياتية في المنشورة الرجل الذي عشق الأعداد فقط (بالإنجليزية: The Man Who Loved Only Numbers)‏—مثل العديد من الآخرين، فقد أخطأ في أولى محاولاته. أضافة إلى ذلك، فقد تمت المناقشة حول المسألة من منظور طفل مصاب بمتلازمة آسبرجر، في "The Curious Incident of the Dog in the Night-time"، وهي رواية من عام 2003 كتبها مارك هادون. وتمت إيضاً إضافة المسألة في محاضرة للشخصية تشارلي ايبس في أحد الحلقات لبرنامج CBS الدرامي نمبرز (و تحديداً في الحلقة 1.13) وفي كتاب دارين براون من عام 2006 المسمى خدع الذهن (بالإنجليزية: Tricks Of The Mind)‏. كما شرح بين جيليتيه مسألة مونتي هول في حلقة "الحظ" من السلسلة الإذاعية لبوب ديلان المسمى "Theme Time Radio Hour". كما ظهرت مسألة مونتي هول في فيلم 21 (Bloch 2008). كما حدد الاقتصادي إم. كيث تشين العيب الكامن في المئات من التجارب المتعلقة باللاتوافق الاستعرافي (بالإنجليزية: Cognitive dissonance)‏ التي تُستعمل لتحليل القضايا المشابهة لما هو موجود في مسألة مونتي هول الأصلية (Tierney 2008).

تقترح تحليل المسألة بأن نقوم باستعمال الصياغة النظرية لللإحتمالية البايزية (Gill 2002) بقاعدة لافتراضات الموجودة ضمن المسألة.

في الحدود البايزية، تكون الاحتمالية ${\displaystyle P(A|I)\,}$ هي عدد في الفترة ${\displaystyle [0,1]\,}$ المرتبطة بالافتراض ${\displaystyle A\,}$. يحدد ذلك العدد درجة الاعتقاد في الحقيقة ${\displaystyle A\,}$, وذلك اعتماداً على ما إذا كانت المعلومات الأساسية ${\displaystyle I\,}$ قد حدثت وأصبحت معلومة.

بالنسبة لهذه المسألة، تأتي المعلومات الرئيسية من قواعد اللعبة، أما قيم الافتراضات التي تؤدي إلى نتيجة مغينة فهي:

${\displaystyle C_{i}\,}$ : حيث تكون السيارة خلف الباب i، وi تساوي 1، أو 2 أو 3.

${\displaystyle H_{ij}\,}$ : حيث يفتح فيه المضيف الباب j بعد أن يختار اللاعب الباب i، وتكون الأعداد i وj مساوية 1، أو 2 أو 3.

فعلى سبيل المثال، ${\displaystyle C_{1}\,}$ تشير إلى الافتراض بأن تكون فيه السيارة خلف الباب ذو الرقم 1، وتشير ${\displaystyle H_{12}\,}$ إلى الافتراض الذي يفتح فيه المضيف الباب ذو الرقم 2 بعد أن يختار اللاعب الباب ذو الرقم 1.

تكون الافتراضات التي تقوم على التفسير الشائع للغز مونتي هول المذكورة رسمياً على النحو التالي:

أولاً، يمكن أن تكون السيارة خلف أي باب، وحميع الأبواب لها نفس الاحتمالات البديهية لأن موقع السيارة غير معروف. ومن هذا السياق، يكون معنى بديهي أي قبل أن تُقام اللعبة، أو تعني قبل رؤية الماعز. لذلك، تكون الاحتمالية البديهية للافتراض ${\displaystyle C_{i}\,}$ هي:

${\displaystyle P(C_{i}|I)\,={\frac {1}{3}}.}$

ثانياً، يفتح المضيف دائماً الباب الذي لا يوجد خلفه السيارة، وذلك باختيار إحدى البابين الذين لم يفتحهما اللاعب. إذا كان البابين المتبقيين لا يوجد خلفهما السيارة، فكل واحدة منهما لها نفس المقدار من الاحتمالات. بذلك يحدد هذه القاعدة الاحتمال الشرطي للافتراض ${\displaystyle H_{ij}\,}$ أعتماداً على مكان السيارة — بمعنى آخر، أنها مشروطة على الافتراض ${\displaystyle C_{k}\,.}$ وعلى وجه التحديد، تكون:

يمكن أن تُحل المسألة الآن بتسجيل كل استراتيجية بواسطة احتمالياتها اللاحقة المرتبطة بالفوز، مع احتمالياتها المعتمدة على فتح المضيف لأحد الأبواب. وبدون فقدان العمومية، افترض، وبإعادة ترقيم الأبواب إن كنت تريد ذلك، بأن اللاعب قد اختار الباب ذو الرقم 1، وافترض بأن المضيف أتى بعدك وقام لفتح الباب ذو الرقم 3، كاشفاً بذلك الماعز. وبتعبير أخرى، يجعل المضيف من الافتراض ${\displaystyle H_{13}\,}$ قيمة حقيقية.

الاحتمال اللاحق للفوز بعدم تغيير الاختيار، وذلك باعتماد على قواعد اللعبة والافتراض ${\displaystyle H_{13}\,}$, هي ${\displaystyle P(C_{1}|H_{13},\,I)}$. وباستعمال مبرهنة بايز، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle P(C_{1}|H_{13},\,I)={\frac {P(H_{13}|C_{1},\,I)\,P(C_{1}|I)}{P(H_{13}|I)}}.}$

وبسبب الافتراض المذكور أعلاه، يكون البسط الموجود في الجهة اليمنى هي:

${\displaystyle P(H_{13}|C_{1},\,I)\,P(C_{1}|I)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}.}$

وبقسمة ثابت الاستنظام على البسط، ينتج:

${\displaystyle P(C_{1}|H_{13},\,I)={\frac {1}{6}}\,/\,{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.}$

لاحظ بأن الناتج يساوي الاحتمالية البديهية لكون السيارة خلف الباب المختار مبدئياً، مما يعني بأن حركة المضيف لم تساهم بأي معلومات جديدة بالنسبة إلى هذا الاحتمال. في الواقع، يوضح البرهان القادم بأن حركة المضيف تقوم بإعادة توزيع احتمالات في كون السيارة خلف إحدى البابين المتبقيين بشكل كلي.

من الممكن تقييم احتمالية الفوز بالتغيير إلى الباب 2، ${\displaystyle P(C_{2}|H_{13},\,I)}$، بشرط أن يُضاف الاحتماليات اللاحقة لجميع الافتراضات ${\displaystyle C_{i}\,}$ إلى العدد 1. وتكون:

${\displaystyle 1=P(C_{1}|H_{13},\,I)+P(C_{2}|H_{13},\,I)+P(C_{3}|H_{13},\,I).}$

وبما أن السيارة لاتوجد خلف الباب ذو الرقم 3، لأن المضيف قد قام بفتحها بالفعل، فيجب أن يكون الحد الأخير مساوياً للصفر. ويكمن أن تُبرهن باستعمال مبرهنة بايز مع النتائج السابقة

و لذلك يكون:

${\displaystyle P(C_{2}|H_{13},\,I)=1-{\frac {1}{3}}-0={\frac {2}{3}}.}$

هذا يظهر بأن الإستراتيجية المناسبة للفوز هي بتبديل الاختيار إلى الباب ذو الرقم 2. كما أنها تقوم بتوضيح بأن كشف المضيف للماعز -الذي كان خلف الباب -3 قد قامت بتأثير على النتيجة، وذلك بنقل 1/3 فرصة للفوز من الباب ذو الرقم 3 إلى الباب المرتبط بها بشكل بديهي -الباب الذي لم يتم فتحه-، وهذا ما يجعل لديه الاحتمال الأكبر للفوز.

• مبرهنة بايز

• مسألة مونتي هول في موقع letsmakeadeal.com
• مسألة برنامج الألعاب–السؤال الأصلي والأجوبة في موقع مارلين فوس سافانت.
• مونتي هول على مشروع الدليل المفتوح
• "مفارقة مونتي هول" تأليف ماثيو ر. ماكدوغال، مشروع تظاهرات ولفارم (محاكاة).
• مسألة مونتي هول في صحيفة النيويورك تايمز (محاكاة).

• بوابة تلفاز
• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء

مسألة مونتي هول في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز