ترتيب سريع

عند استعمال الترتيب السريع لمجموعة مرتبة مسبقا، وبطريقة اعتباطية، يستغرق كما قلنا وقتا كبيرا، وذلك راجع لأن أول عنصر هو الذي يعتبر محورا، الشيء الذي يؤدي إلى عدم تقسيم المجموعة إلى قسمين أكبر وأصغر من المحور. لحل المشكل يتم اختيار العنصر الأوسط، كما يمكن اختياره عشوائيا من عنصرين متواجدين حول المركز، حيث أن عملية اختيار المحور أو الأساس تحدد أداء الخوارزمية وتأرجحها بين وقت التشغيل N*Log n وN^^{2 بصيغة Big O Notation.}

عند استعمال الترتيب السريع لترتيب مجموعة ذات عناصر كبيرة، يمكن تغيير تقنية الترتيب عند الوصول إلى مجموعة جزئية غير مرتبة عدد عناصرها صغير،10 أو أقل. الترتيب بالاختيار مناسب في هذه الحالة.

يُنسب هذا المخطط إلى نيكو لوموتو وشاعه بنتلي في كتابه برمجة بيرلز وكورمين وآخرون.[19] في كتابهم مقدمة في الخوارزميات. [20] يختار هذا النظام المحور الذي يكون عادةً العنصر الأخير في المصفوفة. الخوارزمية تحتفظ بالفهرسi لأنه يمسح المصفوفة باستخدام فهرس آخرj مثل أن العناصر الموجودة فيlo خلال الصغرىi-1 (شامل) أقل من المحور والعناصر الموجودة فيi خلالj (شاملة) تساوي أو أكبر من المحور. نظرًا لأن هذا المخطط أكثر إحكاما وسهل الفهم، فإنه يستخدم بشكل متكرر في المواد التمهيدية، على الرغم من أنه أقل كفاءة من مخطط هور الأصلي، على سبيل المثال، عندما تكون جميع العناصر متساوية. [21] يتحلل هذا المخطط إلى O(n²) عندما تكون الصفيف في حالة جيدة بالفعل. [14] كانت هناك متغيرات مختلفة مقترحة لتعزيز الأداء بما في ذلك طرق مختلفة لتحديد المحور، والتعامل مع العناصر المتساوية، واستخدام خوارزميات الفرز الأخرى مثل تصنيف الإدراج للمصفوفات الصغيرة وما إلى ذلك. في سودوكود، وهو تصنيف سريع يقوم بفرز العناصر فيlo خلال الصغرىhi (شامل) للمصفوفة A على النحو التالي: [20]

algorithm quicksort(A, lo, hi) is
  if lo < hi then
     p := partition(A, lo, hi)
    quicksort(A, lo, p - 1)
    quicksort(A, p + 1, hi)
algorithm partition(A, lo, hi) is
    pivot := A[hi]
    i := lo
    for j := lo to hi do 
     if A[j] < pivot then
       swap A[i] with A[j] 
       i := i + 1 
swap A[i] with A[hi]
return i

يتم فرز المجموعة بأكملها بواسطةquicksort(A, 0, length(A) - 1) .

يستخدم مخطط التقسيم الأصلي الذي وصفه توني هور مؤشرين يبدأان في نهايات المصفوفة التي يتم تقسيمها، ثم ينتقلان باتجاه بعضهما البعض، حتى يكتشفوا انعكاسًا: زوج من العناصر، واحد أكبر من أو يساوي المحور، واحد أقل من أو يساوي، بترتيب خاطئ بالنسبة لبعضها البعض. ثم يتم تبديل العناصر المقلوبة. [22] عندما تلتقي المؤشرات، تتوقف الخوارزمية وتعيد الفهرس النهائي. يعتبر مخطط هور أكثر كفاءة من مخطط تقسيم لوموتو لأنه يقوم بإجراء مقايضات أقل بثلاث مرات في المتوسط، كما أنه ينشئ أقسامًا فعالة حتى عندما تكون جميع القيم متساوية. [14]  مثل مخطط تقسيم لوموتو، سيؤدي تقسيم هور أيضًا إلى تدهور ترتيب سريع إلى O(n²) للمدخلات التي تم فرزها بالفعل، إذا تم اختيار المحور ليكون العنصر الأول أو الأخير. مع وجود العنصر الأوسط كمحور، ينتج عن البيانات المصنفة (تقريبًا) عدم وجود مقايضات في أقسام متساوية الحجم تؤدي إلى أفضل سلوك حالة لـ ترتيب سريع، أي O(n log(n)) . مثل الآخرين، لا ينتج تقسيم هور نوعًا مستقرًا. في هذا المخطط، لا يكون الموقع النهائي للمحور بالضرورة في الفهرس الذي يتم إرجاعه، حيث يمكن أن ينتهي المحور والعناصر التي تساوي المحور في أي مكان داخل القسم بعد خطوة القسم، وقد لا يتم فرزها حتى الحالة الأساسية لـ يتم الوصول إلى القسم الذي يحتوي على عنصر واحد عبر العودية. المقطعان التاليان اللذان تكررهما الخوارزمية الرئيسية هما(lo..p) (العناصر ≤ المحور) و(p+1..hi) (العناصر ≥ المحور) مقابل(lo..p-1) و(p+1..hi) كما في مخطط لوموتو. ومع ذلك، فإن خوارزمية التقسيم تضمن lo ≤ p < hi مما يعني أن كلا القسمين الناتجين غير فارغين، وبالتالي لا يوجد خطر من التكرار اللانهائي. في الكود الزائف، [20]

algorithm quicksort(A, lo, hi) is
   if lo < hi then
      p := partition(A, lo, hi)
    quicksort(A, lo, p) 
    quicksort(A, p + 1, hi) 
algorithm partition(A, lo, hi) is
    pivot := A[ floor((hi + lo) / 2) ]
    i := lo - 1
    j := hi + 1
    loop forever 
      do
        i := i + 1 
      while A[i] < pivot do 
        j := j - 1 
      while A[j] > pivot
   if i ≥ j then 
      return j
   swap A[i] with A[j]

يتم تقريب التقسيم المحوري لأسفل، كما هو موضح هنا بواسطة دالة الأرضية ؛ [23] هذا يتجنب استخدام A [hi] كمحور، مما قد يؤدي إلى تكرار لا نهائي.

يتم فرز المجموعة بأكملها حسبquicksort(A, 0, length(A) - 1) .

في الإصدارات المبكرة جدًا من الترتيب السريع، غالبًا ما يتم اختيار العنصر الموجود في أقصى اليسار كعنصر محوري. لسوء الحظ، يتسبب هذا في سلوك أسوأ حالة على المصفوفات التي تم فرزها بالفعل، وهي حالة استخدام شائعة إلى حد ما. تم حل المشكلة بسهولة عن طريق اختيار إما فهرس عشوائي للمحور، أو اختيار المؤشر الأوسط للقسم أو (خاصة للأقسام الأطول) باختيار وسيط العنصر الأول والمتوسط والأخير من القسم للمحور (على النحو الموصى به من قبل عالم الكمبيوتر روبرت سيدجويك). [24] تقاوم قاعدة "الوسيط من ثلاثة" حالة الإدخال المصنف (أو الفرز العكسي)، وتعطي تقديرًا أفضل للمحور الأمثل (الوسيط الحقيقي) بدلاً من تحديد أي عنصر فردي، في حالة عدم وجود معلومات حول ترتيب الإدخال معروف.

مقتطف رمز متوسط من ثلاثة لقسم لوموتو:

mid := ⌊(lo + hi) / 2
⌋ if A[mid] < A[lo]
  swap A[lo] with A[mid]
if A[hi] < A[lo]
  swap A[lo] with A[hi] 
if A[mid] < A[hi]
  swap A[mid] with A[hi]
pivot := A[hi]

يضع الوسيط في A[hi] أولاً، ثم يتم استخدام القيمة الجديدة لـ A[hi] للمحور، كما هو الحال في الخوارزمية الأساسية المعروضة أعلاه.

على وجه التحديد، العدد المتوقع من المقارنات اللازمة لفرز n العناصر (انظر § تحليل الفرز السريع العشوائي) مع الاختيار المحوري العشوائي هو 1.386 n log n . يؤدي متوسط ثلاثة محاور إلى خفض هذا إلى معامل ذو الحدين_{n, 2} ≈ 1.188 n log n، على حساب زيادة قدرها ثلاثة بالمائة في العدد المتوقع من المقايضات. [11] قاعدة تمحور أقوى، للمصفوفات الأكبر، هي اختيار التاسع، وهو متوسط تكراري من ثلاثة (Mo3)، كما هو محدد. [11]

ninther(a) = median(Mo3(first ⅓ of a), Mo3(middle ⅓ of a), Mo3(final ⅓ of a))

يعد تحديد عنصر محوري أمرًا معقدًا أيضًا بسبب وجود تجاوز عدد صحيح . إذا كانت مؤشرات الحدود للمصفوفة الفرعية التي يتم فرزها كبيرة بدرجة كافية، فإن التعبير الساذج للفهرس الأوسط، (lo + hi)/2، سيؤدي إلى تجاوز التدفق وتوفير فهرس محوري غير صالح. يمكن التغلب على ذلك باستخدام، على سبيل المثال، lo + (hi−lo)/2 لفهرسة العنصر الأوسط، على حساب حسابي أكثر تعقيدًا. تظهر مشكلات مماثلة في بعض الطرق الأخرى لاختيار العنصر المحوري.

باستخدام خوارزمية التقسيم مثل مخطط تقسيم لوموتو الموضح أعلاه (حتى إذا كان يختار قيمًا محورية جيدة)، يُظهر الترتيب السريع أداءً ضعيفًا للمدخلات التي تحتوي على العديد من العناصر المتكررة. تظهر المشكلة بوضوح عندما تكون جميع عناصر الإدخال متساوية: في كل تكرار، يكون القسم الأيسر فارغًا (لا توجد قيم إدخال أقل من المحور)، ويكون القسم الأيمن قد انخفض بمقدار عنصر واحد فقط (تتم إزالة المحور). وبالتالي، فإن مخطط تقسيم لوموتو يأخذ الوقت من الدرجة الثانية لفرز مجموعة من القيم متساوية. ومع ذلك، باستخدام خوارزمية التقسيم مثل نظام تقسيم هور، تؤدي العناصر المتكررة عمومًا إلى تقسيم أفضل، وعلى الرغم من إمكانية حدوث مبادلات غير ضرورية للعناصر المساوية للمحور، فإن وقت التشغيل ينخفض بشكل عام مع زيادة عدد العناصر المتكررة (مع ذاكرة التخزين المؤقت تقليل حجم المبادلة). في حالة تساوي جميع العناصر، يقوم مخطط تقسيم هور بتبديل العناصر دون داع، ولكن التقسيم نفسه هو أفضل حالة، كما هو مذكور في قسم قسم هور أعلاه.

لحل مشكلة مخطط تقسيم لوموتو (تسمى أحيانًا مشكلة العلم الوطني الهولندي [11] )، يمكن استخدام روتين بديل لتقسيم الوقت الخطي يفصل القيم إلى ثلاث مجموعات: القيم الأقل من المحور، والقيم التي تساوي المحور، والقيم الأكبر من المحور. (يسمي بنتلي وماكلروي هذا "قسمًا سمينًا" وقد تم تنفيذه بالفعل فيqsort من الإصدار 7 يونكس . [11] ) القيم التي تساوي المحور تم فرزها بالفعل، لذا يجب فرز الأقسام الأصغر من والأكبر من فقط بشكل متكرر. في الكود الزائف، تصبح خوارزمية الفرز السريع

algorithm quicksort(A, lo, hi) is
  if lo < hi then
    p := pivot(A, lo, hi)
    left, right := partition(A, p, lo, 
hi) // note: multiple return values
    quicksort(A, lo, left - 1) 
    quicksort(A, right + 1, hi)

يقوم partition بإرجاع المؤشرات إلى العنصر الأول ("أقصى اليسار") وإلى العنصر الأخير ("أقصى اليمين") من القسم الأوسط. كل عنصر من القسم يساوي p وبالتالي يتم فرزها. وبالتالي، لا يلزم تضمين عناصر القسم في الاستدعاءات المتكررة ترتيب سريع .

تحدث أفضل حالة للخوارزمية الآن عندما تكون جميع العناصر متساوية (أو يتم اختيارها من مجموعة صغيرة من k ≪ n ). في حالة كل العناصر المتساوية، سينفذ التصنيف السريع المعدل مكالمتين متتاليتين فقط على المصفوفات الفرعية الفارغة، وبالتالي ينتهي في الوقت الخطي (بافتراض أن partition الفرعي لا يستغرق أكثر من الوقت الخطي).

هناك نوعان من التحسينات المهمة الأخرى، التي اقترحها سيدجويك والمستخدمة على نطاق واسع في الممارسة، هي: [25]

• للتأكد من استخدام مساحة O(log n) على الأكثر، قم بالتكرار أولاً في الجانب الأصغر من القسم، ثم استخدم استدعاء الذيل للتكرار في الجانب الآخر، أو قم بتحديث المعلمات بحيث لا تتضمن بعد الآن الجانب الأصغر المصنف الآن، وكرر لفرز الجانب الأكبر.
• عندما يكون عدد العناصر أقل من بعض العتبة (ربما عشرة عناصر)، قم بالتبديل إلى خوارزمية فرز غير متكررة مثل فرز الإدراج الذي يؤدي إلى مقايضات أو مقارنات أو عمليات أخرى على مثل هذه المصفوفات الصغيرة. ستختلف "العتبة" المثالية بناءً على تفاصيل التنفيذ المحدد.
• متغير أقدم من التحسين السابق: عندما يكون عدد العناصر أقل من الحد k، توقف ببساطة، ثم بعد معالجة المصفوفة بأكملها، قم بإجراء فرز للإدراج عليها. وقف الأوراق في وقت مبكر العودية -بترتيب k بالمجموعة، وهذا يعني أن كل عنصر في معظم المناصب k بعيدا عن موقفها النهائي فرزها. في هذه الحالة، يستغرق فرز O(kn) لإنهاء الفرز، والذي يكون خطيًا إذا كان k ثابتًا. [26] [19] ^:117 مقارنة بتحسين "العديد من الأنواع الصغيرة"، قد ينفذ هذا الإصدار تعليمات أقل، ولكنه يستخدم دون المستوى الأمثل لذاكرة التخزين المؤقت في أجهزة الكمبيوتر الحديثة. [27]

صيغة ترتيب سريع الخاصة بفرق تسد تجعلها قابلة للتوازي باستخدام توازي المهام . يتم إنجاز خطوة التقسيم من خلال استخدام خوارزمية مجموع البادئة المتوازية لحساب فهرس لكل عنصر مصفوفة في قسمها من المصفوفة المقسمة. [28] [29] بالنظر إلى مجموعة من الحجم n، تقوم خطوة التقسيم بتنفيذ O(n) العمل في O(log n) الوقت وتتطلب O(n) مساحة خدش إضافية. بعد تقسيم المصفوفة، يمكن فرز القسمين بشكل متكرر على التوازي. O(log² n) المتوازي يفرز مجموعة من الحجم n في O(n log n) تعمل في O(log² n) الوقت باستخدام O(n) مساحة إضافية.

لدى ترتيب سريع بعض العيوب عند مقارنتها بخوارزميات الفرز البديلة، مثل دمج الفرز، مما يعقد موازنتها الفعالة. يؤثر عمق شجرة الانقسام والقهر في التصنيف السريع بشكل مباشر على قابلية توسيع الخوارزمية، ويعتمد هذا العمق بشكل كبير على اختيار الخوارزمية للمحور. بالإضافة إلى ذلك، من الصعب موازاة خطوة التقسيم بكفاءة في مكانها. يعمل استخدام مساحة التسويد على تبسيط خطوة التقسيم، ولكنه يزيد من أثر ذاكرة الخوارزمية والنفقات العامة الثابتة.

يمكن أن تحقق خوارزميات الفرز المتوازي الأخرى الأكثر تعقيدًا حدودًا زمنية أفضل. [30] على سبيل المثال، في عام 1991، وصف ديفيد باورز الفرز السريع المتوازي (وفرز الجذر المرتبط) الذي يمكن أن يعمل في وقت O(log n) على القراءة المتزامنة والكتابة المتزامنة (CRCW) وآلة الوصول العشوائي المتوازية (PRAM) مع n معالجات بواسطة أداء التقسيم ضمنيًا. [31]

يحدث القسم غير المتوازن عندما تكون إحدى القوائم الفرعية التي يتم إرجاعها بواسطة إجراء التقسيم بحجم n − 1 . [32] قد يحدث هذا إذا كان المحور هو أصغر أو أكبر عنصر في القائمة، أو في بعض عمليات التنفيذ (على سبيل المثال، نظام تقسيم لوموتو كما هو موضح أعلاه) عندما تكون جميع العناصر متساوية.

إذا حدث هذا بشكل متكرر في كل قسم، فإن كل مكالمة متكررة تعالج قائمة بحجم أقل من القائمة السابقة. وبالتالي، يمكننا إجراء n − 1 قبل أن نصل إلى قائمة الحجم 1. هذا يعني أن شجرة الاستدعاء عبارة عن سلسلة خطية من المكالمات المتداخلة n − 1 i عشر دعوة يفعل O(n − i) العمل للقيام به القسم، و ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{n}(n-i)=O(n^{2})}$، وذلك في هذه الحالة فرز سريع يأخذ O(n²) وقت O(n²)

في الحالة الأكثر توازناً، في كل مرة نقوم فيها بإجراء قسم، نقسم القائمة إلى قسمين متساويين تقريبًا. هذا يعني أن كل مكالمة متكررة تعالج قائمة من نصف الحجم. ونتيجة لذلك، يمكننا أن نجعل فقط log₂ n المتداخلة المكالمات قبل أن نصل إلى قائمة حجم 1. هذا يعني أن عمق شجرة الاستدعاء هو log₂ n . لكن لا يوجد مكالمتان على نفس المستوى من شجرة الاستدعاء تعالج نفس الجزء من القائمة الأصلية ؛ وبالتالي، فإن كل مستوى من المكالمات يحتاج فقط إلى وقت O(n) معًا (كل مكالمة لها بعض الحمل الثابت، ولكن نظرًا لوجود O(n) في كل مستوى، يتم تضمين ذلك في O(n) عامل). والنتيجة هي أن الخوارزمية تستخدم الوقت O(n log n) فقط.

لفرز مجموعة من العناصر المتميزة n O(n log n) في التوقع، بمتوسط كل n! تباديل عناصر n باحتمالية متساوية . نسرد هنا ثلاثة أدلة شائعة لهذا الادعاء تقدم رؤى مختلفة حول طريقة عمل الترتيب السريع.

إذا كان لكل محور مرتبة في مكان ما في منتصف 50 بالمائة، أي بين 25 بالمائة و 75 بالمائة، فإنه يقسم العناصر بنسبة 25٪ على الأقل و 75٪ على الأكثر على كل جانب. إذا تمكنا من اختيار هذه المحاور باستمرار، فسنضطر فقط إلى تقسيم القائمة على الأكثر ${\displaystyle \log _{4/3}n}$ مرات قبل الوصول إلى قوائم الحجم 1، مما ينتج عنه خوارزمية O(n log n)

عندما يكون الإدخال تبديلًا عشوائيًا، يكون للمحور ترتيب عشوائي، وبالتالي لا يمكن ضمان أن يكون في منتصف 50 بالمائة. ومع ذلك، عندما نبدأ من التقليب العشوائي، في كل استدعاء تكراري، يكون للمحور ترتيب عشوائي في قائمته، وبالتالي فهو في منتصف 50 بالمائة تقريبًا نصف الوقت. هذا جيد بما فيه الكفاية. تخيل أن عملة انقلبت: الرؤوس تعني أن رتبة المحور في منتصف 50 بالمائة، والذيل يعني أنه ليس كذلك. تخيل الآن أن العملة انقلبت مرارًا وتكرارًا حتى تحصل على شكل k . على الرغم من أن هذا قد يستغرق وقتًا طويلاً، إلا أنه في المتوسط 2k فقط، واحتمال عدم حصول العملة المعدنية على رؤوس k 100k أمر غير محتمل للغاية (يمكن جعل هذا صارمًا باستخدام حدود تشيرنوف). من خلال نفس الوسيطة، سينتهي عودية ترتيب سريع في المتوسط عند عمق مكالمة فقط ${\displaystyle 2\log _{4/3}n}$ . ولكن إذا كان متوسط عمق المكالمة هو O(log n)، وكل مستوى من عمليات شجرة الاستدعاء في معظم n العناصر، فإن إجمالي مقدار العمل المنجز في المتوسط هو المنتج O(n log n) . لا يتعين على الخوارزمية التحقق من أن المحور يقع في النصف الأوسط - إذا ضربناه بأي جزء ثابت من المرات، فهذا يكفي للتعقيد المطلوب.

طريقة بديلة هي إنشاء علاقة تكرار T(n)، الوقت اللازم لفرز قائمة بالحجم n . في أكثر الحالات غير المتوازنة، تتضمن مكالمة الفرز السريع الفردية O(n) العمل بالإضافة إلى مكالمتين متكررتين على قوائم الحجم 0 و n−1، وبالتالي فإن علاقة التكرار هي

${\displaystyle T(n)=O(n)+T(0)+T(n-1)=O(n)+T(n-1).}$

هذه هي نفس العلاقة بالنسبة لفرز الإدراج وفرز التحديد، وهي تحل أسوأ حالة T(n) = O(n²) .

في الحالة الأكثر توازناً، تتضمن مكالمة الفرز السريع الفردية عمل O(n) بالإضافة إلى مكالمتين متكررتين على قوائم بحجم n/2، وبالتالي فإن علاقة التكرار هي

${\displaystyle T(n)=O(n)+2T\left({\frac {n}{2}}\right).}$

تخبرنا النظرية الرئيسية لتكرار فرق تسد T(n) = O(n log n) .

يتبع مخطط إثبات رسمي لتعقيد الوقت المتوقع O(n log n) افترض أنه لا توجد نسخ مكررة حيث يمكن التعامل مع التكرارات بوقت خطي قبل المعالجة وبعدها، أو اعتبار الحالات أسهل من التي تم تحليلها. عندما يكون الإدخال عبارة عن تبديل عشوائي، فإن رتبة المحور تكون عشوائية منتظمة من 0 إلى n − 1 . ثم يكون للأجزاء الناتجة من القسم أحجام i و n − i − 1، وأنا عشوائي منتظم من 0 إلى n − 1 . لذلك، عند حساب المتوسط على جميع الانقسامات الممكنة مع ملاحظة أن عدد المقارنات للقسم هو n − 1، يمكن تقدير متوسط عدد المقارنات عبر جميع تباديل تسلسل الإدخال بدقة عن طريق حل علاقة التكرار:

${\displaystyle C(n)=n-1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}(C(i)+C(n-i-1))=n-1+{\frac {2}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}C(i)}$

${\displaystyle nC(n)=n(n-1)+2\sum _{i=0}^{n-1}C(i)}$

${\displaystyle nC(n)-(n-1)C(n-1)=n(n-1)-(n-1)(n-2)+2C(n-1)}$

${\displaystyle nC(n)=(n+1)C(n-1)+2n-2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C(n)}{n+1}}&={\frac {C(n-1)}{n}}+{\frac {2}{n+1}}-{\frac {2}{n(n+1)}}\leq {\frac {C(n-1)}{n}}+{\frac {2}{n+1}}\\&={\frac {C(n-2)}{n-1}}+{\frac {2}{n}}-{\frac {2}{(n-1)n}}+{\frac {2}{n+1}}\leq {\frac {C(n-2)}{n-1}}+{\frac {2}{n}}+{\frac {2}{n+1}}\\&\ \ \vdots \\&={\frac {C(1)}{2}}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {2}{i+1}}\leq 2\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{i}}\approx 2\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=2\ln n\end{aligned}}}$

يعطي حل التكرار C(n) = 2n ln n ≈ 1.39n log₂ n .

هذا يعني أن الترتيب السريع، في المتوسط، يؤدي فقط نحو 39٪ أسوأ مما كان عليه في أفضل حالاته. وبهذا المعنى، فهي أقرب إلى الحالة الأفضل من الحالة الأسوأ. لا يمكن لفرز المقارنة استخدام مقارنات أقل من log₂(n!) في المتوسط لفرز n العناصر (كما هو موضح في مقالة فرز المقارنة ) وفي حالة n الكبيرة، ينتج عن تقريب ستيرلينغ log₂(n!) ≈ n(log₂ n − log₂ e)، لذا فإن الترتيب السريع ليس أسوأ بكثير من نوع المقارنة المثالي. يعد متوسط وقت التشغيل السريع هذا سببًا آخر للهيمنة العملية للفرز السريع على خوارزميات الفرز الأخرى.

تتوافق شجرة البحث الثنائية التالية (BST) مع كل تنفيذ للفرز السريع: المحور الأولي هو العقدة الجذرية ؛ محور النصف الأيسر هو جذر الشجرة الفرعية اليسرى، ومحور النصف الأيمن هو جذر الشجرة الفرعية اليمنى، وهكذا. عدد مقارنات تنفيذ الفرز السريع يساوي عدد المقارنات أثناء إنشاء BST من خلال سلسلة من عمليات الإدراج. لذا، فإن متوسط عدد المقارنات للفرز السريع العشوائي يساوي متوسط تكلفة إنشاء BST عند إدراج القيم ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ تشكيل تبديل عشوائي.

ضع في اعتبارك BST تم إنشاؤه عن طريق إدراج تسلسل ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ من القيم التي تشكل التقليب العشوائي. دع C تشير إلى تكلفة إنشاء BST. نملك ${\displaystyle C=\sum _{i}\sum _{j<i}c_{i,j}}$، أين ${\displaystyle c_{i,j}}$ هو متغير عشوائي ثنائي يعبر عما إذا كان أثناء إدخال ${\displaystyle x_{i}}$ كانت هناك مقارنة ${\displaystyle x_{j}}$ .

حسب خطية التوقع، القيمة المتوقعة ${\displaystyle \operatorname {E} [C]}$ من C هو ${\displaystyle \operatorname {E} [C]=\sum _{i}\sum _{j<i}\Pr(c_{i,j})}$ .

إصلاح i و j<i . القيم ${\displaystyle {x_{1},x_{2},\ldots ,x_{j}}}$ بمجرد الفرز، حدد فترات j+1 الملاحظة الهيكلية الأساسية هي أن ${\displaystyle x_{i}}$ بالمقارنة مع ${\displaystyle x_{j}}$ في الخوارزمية إذا وفقط إذا ${\displaystyle x_{i}}$ يقع داخل أحد الفترتين المتجاورتين لـ ${\displaystyle x_{j}}$ .

لاحظ ذلك منذ ذلك الحين ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ هو تبديل عشوائي، ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{j},x_{i})}$ هو أيضًا تبديل عشوائي، لذا فإن الاحتمال ${\displaystyle x_{i}}$ مجاور ل ${\displaystyle x_{j}}$ هو بالضبط ${\displaystyle {\frac {2}{j+1}}}$ .

ننتهي بحساب قصير:

${\displaystyle \operatorname {E} [C]=\sum _{i}\sum _{j<i}{\frac {2}{j+1}}=O\left(\sum _{i}\log i\right)=O(n\log n).}$

المساحة التي يستخدمها الترتيب السريع تعتمد على الإصدار المستخدم. يحتوي الإصدار الموضعي من الترتيب السريع على تعقيد مساحة O(log n)، حتى في أسوأ الحالات، عندما يتم تنفيذه بعناية باستخدام الاستراتيجيات التالية:

• يتم استخدام التقسيم الموضعي. يتطلب هذا القسم غير المستقر مساحة O(1)
• بعد التقسيم، يتم فرز القسم الذي يحتوي على أقل عدد من العناصر (بشكل متكرر) أولاً، مما يتطلب مساحة O(log n) ثم يتم فرز القسم الآخر باستخدام تكرار الذيل أو التكرار، والذي لا يضيف إلى مكدس الاستدعاءات. هذه الفكرة، كما تمت مناقشتها أعلاه، وصفها روبرت سيدجويك، وتحافظ على عمق المكدس المحدد بـ O(log n) . [33] [26]

ترتيب سريع مع التقسيم الموضعي وغير المستقر يستخدم مساحة إضافية ثابتة فقط قبل إجراء أي مكالمة متكررة. يجب أن يقوم ترتيب سريع بتخزين قدر ثابت من المعلومات لكل مكالمة متكررة متداخلة. نظرًا لأن أفضل حالة تجعل على الأكثر استدعاءات متكررة متداخلة O(log n)، فإنها تستخدم مساحة O(log n) ومع ذلك، من دون حيلة سيدجويك للحد من المكالمات متكررة، في أسوأ حالة فرز سريع يمكن أن تجعل O(n) دعوات متكررة متداخلة والحاجة O(n) الفضاء مساعدة.

من وجهة نظر التعقيد قليلاً، لا تستخدم المتغيرات مثل lo و hi مساحة ثابتة ؛ يستغرق الأمر O(log n) bits للفهرسة في قائمة n من العناصر. نظرًا لوجود مثل هذه المتغيرات في كل إطار مكدس، فإن الترتيب السريع باستخدام خدعة وبرت سيدجويك يتطلب O((log n)²) بت من المساحة. متطلبات المساحة هذه ليست سيئة للغاية، على الرغم من ذلك، لأنه إذا كانت القائمة تحتوي على عناصر مميزة، فستحتاج على الأقل إلى O(n log n) بت من المساحة.

إصدار آخر، أقل شيوعًا، غير موجود، من الترتيب السريع يستخدم O(n) لتخزين العمل ويمكنه تنفيذ فرز مستقر. تسمح مساحة التخزين العاملة بتقسيم مصفوفة الإدخال بسهولة بطريقة مستقرة ثم نسخها مرة أخرى إلى مصفوفة الإدخال لإجراء مكالمات متكررة متتالية. لا يزال تحسين روبرت سيدجويك مناسبًا.

algorithm ترتيب سريع(A, lo, hi) is
 if lo < hi then
  pp:= partition(A, lo, hi)
  ترتيب سريع(A, lo, p – 1)
  ترتيب سريع(A, p + 1, hi)

algorithm partition(A, lo, hi) is
 pivot := A[hi]
 i := lo  // place for swapping
 for j := lo to hi – 1 do
  if A[j] ≤ pivot then
   swap A[i] with A[j]   
   i := i + 1
 swap A[i] with A[hi]
 return i

يتم ترتيب المصفوفة باستدعاء quicksort(A, 1, length(A)).

A اختيار خوارزمية يختار k أصغر من قائمة بأرقام عشر. هذه مشكلة أسهل بشكل عام من الفرز. تعمل خوارزمية اختيار بسيطة ولكنها فعالة بنفس طريقة الترتيب السريع تقريبًا، وبالتالي تُعرف باسم التحديد السريع . الفرق هو أنه بدلاً من إجراء مكالمات متكررة على كلتا القائمتين الفرعيتين، فإنه يقوم فقط بإجراء مكالمة متكررة ذيل واحدة في القائمة الفرعية التي تحتوي على العنصر المطلوب. يقلل هذا التغيير من متوسط التعقيد إلى الوقت الخطي أو O(n)، وهو الأمثل للاختيار، لكن خوارزمية الفرز لا تزال O(n²) .

يختار أحد متغيرات التحديد السريع، وهو متوسط خوارزمية المتوسطات، المحاور بدقة أكبر، مما يضمن أن المحاور قريبة من منتصف البيانات (بين النسب المئوية 30 و 70)، وبالتالي تضمن الوقت الخطي - O(n) . يمكن استخدام نفس استراتيجية المحور هذه لإنشاء متغير من الترتيب السريع (متوسط الفرز السريع للوسيطات O(n log n) بوقت O(n log n) ومع ذلك، فإن النفقات العامة لاختيار المحور مهمة، لذلك لا يتم استخدام هذا بشكل عام في الممارسة.

بشكل أكثر تجريدًا، بالنظر إلى O(n)، يمكن للمرء استخدامها للعثور على المحور المثالي (الوسيط) في كل خطوة من الترتيب السريع، وبالتالي إنتاج خوارزمية فرز مع وقت تشغيل O(n log n) تكون التطبيقات العملية لهذا المتغير أبطأ إلى حد كبير في المتوسط، لكنها ذات أهمية نظرية لأنها تظهر أن خوارزمية اختيار مثالية يمكن أن تسفر عن خوارزمية فرز مثالية.

بدلا من تقسيم إلى قسمين المصفوفات الفرعية باستخدام محور واحد، فرز سريع متعدد محور (أيضا متعدد ترتيب سريع [27] ) تقسيم مدخلاته إلى بعض رقم s من المصفوفات الفرعية باستخدام s − 1 المحاور. في حين تم النظر في حالة المحور المزدوج ( s = 3 ) بواسطة سيدجويك وآخرون بالفعل في منتصف السبعينيات، لم تكن الخوارزميات الناتجة أسرع في الممارسة العملية من الترتيب السريع "الكلاسيكي". [31] وجد تقييم عام 1999 لـ متعدد ترتيب سريع مع عدد متغير من المحاور، تم ضبطها لتحقيق الاستخدام الفعال لذاكرة التخزين المؤقت للمعالج، أنها تزيد من عدد التعليمات بحوالي 20٪، لكن نتائج المحاكاة تشير إلى أنها ستكون أكثر كفاءة مع المدخلات الكبيرة جدًا. [27] هناك نسخة من التصنيف السريع ثنائي المحور طوره ياروسلافسكي في عام 2009 [15] تبين أنها سريعة بما يكفي لضمان التنفيذ في جافا 7، حيث أن الخوارزمية القياسية لفرز مصفوفات العناصر الأولية (يتم فرز مصفوفات الكائنات باستخدام تايمسورت) . [36] تم العثور لاحقًا على أن فائدة أداء هذه الخوارزمية مرتبطة في الغالب بأداء ذاكرة التخزين المؤقت، [37] وتشير النتائج التجريبية إلى أن المتغير ثلاثي المحاور قد يؤدي بشكل أفضل على الأجهزة الحديثة. [31] [31]

بالنسبة لملفات القرص، من الممكن إجراء فرز خارجي يعتمد على تقسيم مشابه للترتيب السريع. إنه أبطأ من فرز الدمج الخارجي، لكنه لا يتطلب مساحة قرص إضافية. يتم استخدام 4 مخازن، 2 للإدخال، 2 للإخراج. دع N = عدد السجلات في الملف، B = عدد السجلات لكل مخزن مؤقت، و M = N / B = عدد مقاطع المخزن المؤقت في الملف. تتم قراءة البيانات (وكتابتها) من طرفي الملف إلى الداخل. دع X تمثل المقاطع التي تبدأ في بداية الملف وتمثل Y المقاطع التي تبدأ في نهاية الملف. تتم قراءة البيانات في المخازن المؤقتة للقراءة X و Y. يتم اختيار سجل محوري ويتم نسخ السجلات الموجودة في المخازن المؤقتة X و Y بخلاف السجل المحوري إلى المخزن المؤقت للكتابة X بترتيب تصاعدي والمخزن المؤقت للكتابة Y بترتيب تنازلي على أساس المقارنة مع السجل المحوري. بمجرد ملء المخزن المؤقت X أو Y، تتم كتابته في الملف ويتم قراءة المخزن المؤقت X أو Y التالي من الملف. تستمر العملية حتى تتم قراءة جميع المقاطع ويبقى مخزن مؤقت واحد للكتابة. إذا كان هذا المخزن المؤقت عبارة عن مخزن مؤقت للكتابة على شكل X، فسيتم إلحاق السجل المحوري به وكتابة المخزن المؤقت X. إذا كان هذا المخزن المؤقت عبارة عن مخزن مؤقت للكتابة على شكل Y، يتم إرسال السجل المحوري مسبقًا إلى المخزن المؤقت Y ويتم كتابة المخزن المؤقت Y. يشكل هذا خطوة قسم واحدة للملف، ويتكون الملف الآن من ملفين فرعيين. يتم دفع / ظهور مواضع البداية والنهاية لكل ملف فرعي إلى مكدس مستقل أو المكدس الرئيسي عبر العودية. لتقييد مساحة المكدس بـ O (log2 (n))، تتم معالجة الملف الفرعي الأصغر أولاً. بالنسبة للمكدس المستقل، ادفع معلمات الملف الفرعي الأكبر إلى المكدس، ثم كرر على الملف الفرعي الأصغر. للتكرار، كرر على الملف الفرعي الأصغر أولاً، ثم كرر للتعامل مع الملف الفرعي الأكبر. بمجرد أن يكون الملف الفرعي أقل من أو يساوي 4 سجلات B، يتم فرز الملف الفرعي في مكانه عبر الترتيب السريع وكتابته. يتم الآن فرز هذا الملف الفرعي ووضعه في مكانه في الملف. تستمر العملية حتى يتم فرز جميع الملفات الفرعية ووضعها في مكانها الصحيح. متوسط عدد التمريرات على الملف هو تقريبًا 1 + ln (N + 1) / (4 B)، لكن نمط الحالة الأسوأ هو N عبر (ما يعادل O (n ^ 2) لأسوأ حالة فرز داخلي). [38]

هذه الخوارزمية عبارة عن مزيج من الفرز الأساسي والترتيب السريع. اختر عنصرًا من المصفوفة (المحور) واعتبر الحرف الأول (المفتاح) من السلسلة (مالتيكاي). قسّم العناصر المتبقية إلى ثلاث مجموعات: تلك التي يكون حرفها المقابل أقل من، ويساوي، وأكبر من حرف المحور. قم بفرز الأقسام "أصغر من" و "أكبر من" بشكل متكرر على نفس الحرف. قم بفرز قسم "يساوي" بشكل متكرر حسب الحرف التالي (مفتاح). بالنظر إلى أننا نقوم بالفرز باستخدام البايتات أو الكلمات ذات الطول W، فإن أفضل حالة هي O(KN) وأسوأ حالة O(2^KN) أو على الأقل O(N²) كما هو الحال بالنسبة للترتيب السريع القياسي، المعطى للمفاتيح الفريدة N<2^K و K هو ثابت مخفي في جميع خوارزميات فرز المقارنة القياسية بما في ذلك الفرز السريع. هذا نوع من الترتيب السريع ثلاثي الاتجاهات حيث يمثل القسم الأوسط مصفوفة فرعية مرتبة (تافهة) من العناصر التي تساوي تمامًا المحور.

تم تطويره أيضًا بواسطة باورز باعتباره خوارزمية آلة الوصول العشوائي المتوازية O(K) هذا مرة أخرى عبارة عن مزيج من فرز الجذر والفرز السريع ولكن يتم اتخاذ قرار التقسيم السريع الفرز الأيسر / الأيمن على بتات متتالية من المفتاح، وبالتالي يكون O(KN) N K -bit. تفترض جميع خوارزميات فرز المقارنة ضمنيًا النموذج متعدد التفرع مع K في Θ(log N)، كما لو كانت K أصغر، يمكننا الفرز في وقت O(N) باستخدام جدول التجزئة أو فرز عدد صحيح . إذا كانت K ≫ log N ولكن العناصر فريدة داخل O(log N)، فلن يتم النظر إلى البتات المتبقية من خلال الفرز السريع أو الفرز الأساسي السريع. إذا تعذر ذلك، فإن جميع خوارزميات فرز المقارنة سيكون لها أيضًا نفس النفقات العامة للبحث من خلال O(K) بتات عديمة الفائدة نسبيًا ولكن الفرز السريع للجذر سيتجنب أسوأ O(N²) الخاصة بالفرز السريع القياسي والفرز السريع، وسيكون أسرع في أفضل حالة من خوارزميات المقارنة هذه في ظل ظروف uniqueprefix(K) ≫ log N راجع السلطات [39] لمزيد من المناقشة حول النفقات العامة المخفية في المقارنة، والجذر والفرز المتوازي.

في أي خوارزمية فرز قائمة على المقارنة، يتطلب تقليل عدد المقارنات تعظيم كمية المعلومات المكتسبة من كل مقارنة، مما يعني أن نتائج المقارنة غير متوقعة. يتسبب هذا في أخطاء متكررة في الفروع، مما يحد من الأداء. [31] يقوم كتلة الترتيب السريع [40] بإعادة ترتيب حسابات التصنيف السريع لتحويل الفروع غير المتوقعة إلى تبعيات البيانات . عند التقسيم، يتم تقسيم الإدخال إلى كتل متوسطة الحجم (تتناسب بسهولة مع ذاكرة التخزين المؤقت للبيانات )، ويتم ملء صفيفين بمواضع العناصر المراد تبديلها. (لتجنب الفروع الشرطية، يتم تخزين الموضع دون قيد أو شرط في نهاية المصفوفة، ويزداد فهرس النهاية إذا كانت هناك حاجة إلى مبادلة. ) يقوم التمرير الثاني بتبادل العناصر في المواضع المحددة في المصفوفات. تحتوي كلتا الحلقتين على فرع شرطي واحد فقط، وهو اختبار للإنهاء يتم إجراؤه عادةً.

توجد العديد من المتغيرات من الترتيب السريع التي تفصل العناصر الأصغر أو الأكبر k

اكتشف ريتشارد جيه كول و ديفيد سي. قندثيل، في عام 2004، عائلة مكونة من معلمة واحدة من خوارزميات الفرز، تسمى أنواع الأقسام، والتي تعمل في المتوسط (مع احتمالية متساوية لجميع أوامر الإدخال) على الأكثر ${\displaystyle n\log n+{O}(n)}$ مقارنات (قريبة من الحد الأدنى النظري للمعلومات) و ${\displaystyle {\Theta }(n\log n)}$ عمليات؛ في أسوأ الأحوال يؤدونها ${\displaystyle {\Theta }(n\log ^{2}n)}$ المقارنات (وكذلك العمليات) ؛ هذه في مكانها، وتتطلب إضافية فقط ${\displaystyle {O}(\log n)}$ الفراغ. تم إثبات الكفاءة العملية والتباين الأصغر في الأداء مقابل الأنواع السريعة المحسّنة (لسيارات سيدجويك وجون بنتلي - دوغلاس ماكلروي ). [41]

• Sedgewick, R. (1978). "Implementing Quicksort programs". Comm. ACM. 21 (10): 847–857. doi:10.1145/359619.359631. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Dean, B. C. (2006). "A simple expected running time analysis for randomized 'divide and conquer' algorithms". Discrete Applied Mathematics. 154: 1–5. doi:10.1016/j.dam.2005.07.005. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Hoare, C. A. R. (1961). "Algorithm 63: Partition". Comm. ACM. 4 (7): 321. doi:10.1145/366622.366642. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Hoare, C. A. R. (1961). "Algorithm 65: Find". Comm. ACM. 4 (7): 321–322. doi:10.1145/366622.366647. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Hoare, C. A. R. (1962). "Quicksort". مجلة الحاسوب. 5 (1): 10–16. doi:10.1093/comjnl/5.1.10. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة) (أعيد طبعه في هور and Jones: Essays in Computing Science، 1989.)
• Musser, David R. (1997). "Introspective Sorting and Selection Algorithms". Software: Practice and Experience. 27 (8): 983–993. doi:10.1002/(SICI)1097-024X(199708)27:8<983::AID-SPE117>3.0.CO;2-#. مؤرشف من الأصل في 11 فبراير 2021. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• دونالد كنوث . فن برمجة الكمبيوتر، المجلد 3: الفرز والبحث، الطبعة الثالثة. أديسون ويسلي، 1997.(ردمك 0-201-89685-0)رقم ISBN 0-201-89685-0 . الصفحات 113-122 من القسم 5.2.2: الفرز عن طريق التبادل.
• توماس إتش كورمين، تشارلز إي ليسيرسون، رونالد إل ريفيست، وكليفورد شتاين . مقدمة في الخوارزميات، الطبعة الثانية. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ومكجرو هيل، 2001.(ردمك 0-262-03293-7)رقم ISBN 0-262-03293-7 . الفصل 7: ترتيب سريع، ص. 145–164.
• فارون مولر . تحليل ترتيب سريع . CS 332: تصميم الخوارزميات. قسم علوم الحاسوب، جامعة سوانسي .
• Martínez, C.; Roura, S. (2001). "Optimal Sampling Strategies in Quicksort and Quickselect". SIAM J. Comput. 31 (3): 683–705. doi:10.1137/S0097539700382108. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Bentley, J. L.; McIlroy, M. D. (1993). "Engineering a sort function". Software: Practice and Experience. 23 (11): 1249–1265. doi:10.1002/spe.4380231105. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)