أثر (جبر خطي)

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A (بالإنجليزية: Trace of matrix)‏ هو مجموع مداخل المصفوفة الواقعة على القطر الرئيسي (القطر الممتد من العنصر الأعلى يسارا إلى العنصر الأسفل يمينا).[1]

\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,

حيث a_ii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، حقيقية كانت أم عقدية. أثر مصفوفة لا يتغير بتغيير القاعدة، صانعًا منها لامتباينا.

مثال

ليكن T عاملا خطيا ممثلا بالمصفوفة التالية:

{\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P² = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (x − λ₁)^d₁···(x − λ_k)^d_kهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

\mathrm {tr} (A)=d_{1}\lambda _{1}+\cdots +d_{k}\lambda _{k}.\!

خصائص

خصائص أساسية

\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)

,

\operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)

.

انظر إلى منقولة مصفوفة.

\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })

.

أثر جداء مصفوفتين

\operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (Y^{\mathrm {T} }X)=\operatorname {tr} (YX^{\mathrm {T} })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}

.

جبر لي

انظر إلى جبر لي.

انظر أيضا

دالة مميزة (نظرية احتمالات)

مراجع

p. II.158. D'autres auteurs la notent tr(A) ou trace(A). نسخة محفوظة 16 ديسمبر 2019 على موقع واي باك مشين.

وصلات خارجية

بوابة رياضيات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] . II.158. D'autres auteurs la notent tr(A) ou trace(A). نسخة محفوظة 16 ديسمبر 2019 على موقع واي باك مشين.