نظام معادلات خطية

في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية: System of linear equations)‏ هي مجموعة من المعادلات الخطية, تضم نفس المجموعة من المتغيرات.[1][2] على سبيل المثال:

{\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}

نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

{\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

الشكل العام

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

1. معادلات متجهة:

x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}

2. معادلات مصفوفة:

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

حسب المصفوفات غاوس,

قاعدة كرامر,
طريقة التعويض.

مجموعة حلول المعادلتين x − y = −1 و 3x + y = 9 هي النقطة (2, 3).

مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

خصائص

الاستقلالية

انظر إلى استقلال خطي.

المعادلات x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, و 4x + 3y = 7 are linearly dependent.

التناسق

المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

3x+2y=6

و

\;\;\;\;3x+2y=12

غير متناسقتين.

التكافؤ

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

3x+y=6

و

\;\;\;\;3x+3y=12

متكافئتان لأن

x=1,y=3

.

حلحلة النظام الخطي

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

اقصاء المتغيرات

{\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{5}-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&5&&\;+\;&&2z&&\;-\;&&3y&\\y&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3z&&&&&\\z&&\;=\;&&2&&&&&&&&&\end{alignedat}}

تبسيط الصفوف

مقالة مفصلة: حذف غاوسي

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامر

مقالة مفصلة: قاعدة كرامر

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

{\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}

تعطى بما يلي:

x={\frac {\,\left|{\begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}.

طريقة الجمع

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

{\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;3\\\end{alignedat}}

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

-2y=-2\,

أي أن:

y=1\,

الآن نعوض y بـ1 فنجد:

x=2\,

طريقة التعويض

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

{\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}

نأخذ $x=3-y\,$ فنجد :

{\begin{alignedat}{7}3&\;-&\;2y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}

أي :

{\begin{alignedat}{7}y&\;=&\;{\frac {3-1}{2}}&\;=&\;1\\\end{alignedat}}

نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

{\begin{alignedat}{7}x+1&\;=&\;3\\\end{alignedat}}

أي أن :

{\begin{alignedat}{7}x&\;=&\;3-1&\;=&\;2\\\end{alignedat}}

هكذا :

$x=2\,$ و $y=1\,$

الأنظمة المتجانسة

انظر أيضا إلى معادلة تفاضلية متجانسة.

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\,\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0.\\\end{alignedat}}

مجموعة الحلول

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

مراجع

"معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
"معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع enciclopedia.cat". enciclopedia.cat. مؤرشف من الأصل في 28 يناير 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

انظر أيضا

بوابة رياضيات
بوابة جبر

في كومنز صور وملفات عن: نظام معادلات خطية

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.