حذف غاوسي

لنفرض أن الغرض هو إيجاد ووصف الحل أو الحلول الممكنة إذا كان أي من نظام المعادلات الخطية التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}2x+y-z&{}=8\quad &(L_{1})\\-3x-y+2z&{}=-11\quad &(L_{2})\\-2x+y+2z&{}=-3\quad &(L_{3})\end{aligned}}}$

تكون الخوارزمية كما يلي: إعزل ${\displaystyle x}$ عن جميع المعادلات تحت ${\displaystyle L_{1}}$, ومن ثم إعزل ${\displaystyle y}$ عن جميع المعادلات تحت ${\displaystyle L_{2}}$. هذا سيجعل النظام على صورة مثلثية. حينئذ، باستعمال التعويض الخلفي، يمكن حل كل واحدة غير معلومة.

في هذا المثال سوف يتم عزل ${\displaystyle x}$ عن${\displaystyle L_{2}}$ بإضافة ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}L_{1}}$ إلى ${\displaystyle L_{2}}$, كما يتم عزل ${\displaystyle x}$ عن ${\displaystyle L_{3}}$ بإضافة ${\displaystyle L_{1}}$ إلى ${\displaystyle L_{3}}$. بشكل رسمي:

${\displaystyle L_{2}+{\frac {3}{2}}L_{1}\rightarrow L_{2}}$

${\displaystyle L_{3}+L_{1}\rightarrow L_{3}}$

والنتيجة تكون:

${\displaystyle 2x+y-z=8\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}z=1\,}$

${\displaystyle 2y+z=5\,}$

والآن بعزل ${\displaystyle y}$ عن ${\displaystyle L_{3}}$ بإضافة ${\displaystyle -4L_{2}}$ إلى${\displaystyle L_{3}}$:

${\displaystyle L_{3}+-4L_{2}\rightarrow L_{3}}$

تصبح النتيجة:

${\displaystyle 2x+y-z=8\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}z=1\,}$

${\displaystyle -z=1\,}$

هذه النتيجة هي نظام معادلات خطية بالصورة المثلثية، وبالتالي يكون الجزء الأول من الخوارزمية قد اكتمل.

القسم الثاني وهو التعويض الخلفي. يتكون من حل المجاهيل في ترتيب عكسي. وعليه يمكن بسهولة ملاحظة أن

${\displaystyle z=-1\quad (L_{3})}$

وعليه, ${\displaystyle z}$ يمكن تعويضها في ${\displaystyle L_{2}}$, والتي يمكن حلها بسهولة لإيجاد

${\displaystyle y=3\quad (L_{2})}$

ثانيا, ${\displaystyle z}$ و${\displaystyle y}$ يمكن تعويضها ${\displaystyle L_{1}}$, والتي يمكن حلها لإيجاد

${\displaystyle x=2\quad (L_{1})}$

وبالتالي تم حل النظام.

انظر إلى نظام معادلات خطية.

• معادلة خطية
• حذف غاوس-جوردان

• بوابة جبر
• بوابة خوارزميات
• بوابة رياضيات
• بوابة علم الحاسوب