ميكانيكا التلامس

تخترق كرة مرنة نصف قطرها ${\displaystyle R}$ نصف فضاء مرن حتى عمق ${\displaystyle d}$ فتصنع مساحة نصف قطرها

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

تتعلق القوة المطبقة ${\displaystyle F}$ بالإزاحة ${\displaystyle d}$ وفق

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{\frac {1}{2}}d^{\frac {3}{2}}}$

حيث

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

و ${\displaystyle E_{1}}$.${\displaystyle E_{2}}$ هما عاملا المرونة و${\displaystyle \nu _{1}}$.${\displaystyle \nu _{2}}$ هما معاملا بواسون أو نسبتا بواسون لكل من الجسمين.

يُعطى توزع الضغط الناظمي في مساحة التلامس كتابع للبعد عن مركز الدائرة وفق:[1]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

حيث ${\displaystyle p_{0}}$ هو الضغط الأعظمي للتلامس ويعطى وفق

${\displaystyle p_{0}={\frac {3F}{2\pi a^{2}}}={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

نصف قطر الدائرة يتعلق بالحمل المطبق ${\displaystyle F}$ حسب المعادلة

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}}$

عمق الاختراق ${\displaystyle d}$ يتعلق بضغط التلامس الأعظمي وفق

${\displaystyle d={\frac {a^{2}}{R}}=\left({\frac {9F^{2}}{16{E^{*}}^{2}R}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

إجهاد القص الأعظمي يحدث في الداخل عند ${\displaystyle z\approx 0.49a}$ لأجل ${\displaystyle \nu =0.33}$

لأجل تماس بين كرتين نصفا قطريهما ${\displaystyle R_{1}}$ و ${\displaystyle R_{2}}$، تكون مساحة التلامس دائرة نصف قطرها ${\displaystyle a}$. المعادلات نفسها لتماس الكرة مع نصف فضاء هندسي إلا أن نصف القطر الفعال ${\displaystyle R}$ يُعرّف حسب[4]

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

هذا يكافئ تماس كرة نصف قطرها ${\displaystyle R}$ مع مستوٍ.

إذا ضُغطت أسطوانة مصمتة على نصف فضاء هندسي مرن ستنشئ توزع ضغط يوصف وفقاً للعلاقة[16]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

حيث ${\displaystyle R}$ نصف قطر الأسطوانة و

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{R}}}$

تعطى العلاقة بين عمق الاختراق والقوة الناظمية وفق

${\displaystyle F=2RE^{*}d}$

في حالة اختراق نصف فضاء هندسي مرن ذي معامل يونغ ${\displaystyle E}$ باستخدام رأس اختراق مخروطي صلب، يكون عمق منطقة الاختراق ${\displaystyle \epsilon }$ ونصف قطر التلامس ${\displaystyle a}$ متعلقين ببعضهما وفق العلاقة[16]

${\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

حيث تُعرّف ${\displaystyle \theta }$ على أنها الزاوية بين المستوي والسطح الجانبي للمخروط. يُعطى عمق الاختراق الكلي ${\displaystyle d}$ بالعلاقة

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }$

القوة الإجمالية هي

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan(\theta )}}}$

توزع الضغط يعطى وفق

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)}$

يكون للإجهاد نقطة عدم تعريف لوغاريتمية عند نقطة طرف رأس المخروط.

في حالة التلامس بين أسطوانتين متوازيتي المحور، تتناسب القوة بارتباط خطي مع طول الأسطوانتين L وعمق الاختراق d:[17]

${\displaystyle F\approx {\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$

أنصاف أقطار المنحنيات تغيب كليًّا عن هذه العلاقة. نصف قطر التلامس يعطى بالعلاقة المعتادة

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

حيث

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

كما في التلامس بين كرتين. الضغط الأعظمي يساوي

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{\frac {1}{2}}}$