معادلة تفاضلية عادية

الدالة ${\displaystyle \ F(y,y',x)=y'-2y}$ المعادلة تكون ${\displaystyle \ y'-2y=0}$.الحل العام هو: ${\displaystyle \ Ae^{2x}}$. وبالفعل يتحقق ${\displaystyle \ (Ae^{2x})'=2Ae^{2x}}$, لذلك إذا عوّضنا تكون النتيجة ${\displaystyle \ 2Ae^{2x}-2Ae^{2x}=0}$, كالمطلوب.

كما ذكرنا، في معادلة تفاضلية نحصل على عدّة حلول متعددة، الحل المطلوب ممكن حصره بواسطة : شرط حدي - شرط ابتدائي (أنظر شروط الحدية).

بشكل خاص؛ لمعادلات تفاضلية من الرتبة الاولى هناك مبرهنة بيكار ليندلوف ذات خواص مهمة لايجاد الحل.

تظهر معادلة خطية من الرتبة الأولى على الصورة ${\displaystyle \ y'+p(x)y=q(x)}$. إذا كان ${\displaystyle \ q(x)\equiv 0}$ تسمى المعادلة بالمعادلة المتجانسة؛ ${\displaystyle \ y'+p(x)y=0}$.

${\displaystyle \ y'+p(x)y=0}$

${\displaystyle \ y'=-p(x)y}$

${\displaystyle \ (y'/y)=-p(x)}$

${\displaystyle \ \int (dy/y)=\int (-p(x))}$

${\displaystyle \ y=Ce^{\int -p(x)dx}}$

${\displaystyle \ C}$ هو معامل تكاملي، ونضيف حلا إضافيا يسمى الحل المنفرد ${\displaystyle \ y(x)\equiv 0}$ وهو يتحقق في شرط حدي ${\displaystyle \ C=0}$. إذا يمكن استنتاج هذا الحل من الحل العام لذلك الحال العام كامل.

المعادلة غير المتجانسة يمكن كتابة حلها حاصل جمع بين حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة وحل خاص لمعادلة تفاضلية غير متجانسة.

${\displaystyle \ y=y_{H}+y_{P}}$

نعرض الآن حلا عاما للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة ${\displaystyle \ y'+p(x)y=q(x)}$

نستعين في دالة ${\displaystyle \ M(x)}$:

${\displaystyle \ y'+p(x)y=q(x)}$

نضرب الجهتين في الدالة المساعدة:

${\displaystyle \ M(x)y'+M(x)p(x)y=M(x)q(x)}$

نطلب:

${\displaystyle \ M(x)'=p(x)M(x)}$

هي معادلة تفاضلية متجانسة، حلها:

${\displaystyle \ M(x)=e^{\int p(x)dx}}$

نستعين في الدالة المساعدة لنصل إلى الحل النهائي:

${\displaystyle \ \int (M(x)y)'=\int M(x)q(x)}$

${\displaystyle \ M(x)y=\int M(x)q(x)+c}$

${\displaystyle \ y=(\int M(x)q(x)+c)/M(x)}$

هي من الصورة:

${\displaystyle \ y'=g(x)h(y)}$

طريقة الحل تكون بفصل المتغيرات ثم القيام بالتكامل.

أي أن :

${\displaystyle \ \int dy/h(y)=\int g(x)dx}$

وهذا بالضبط ما قمنا به في المعادلة المتجانسة من الرتبة الأولى.

ملاحظة: فصل المتغيرات يعني فصل كل ما يتعلق بالمتغير المستقل ${\displaystyle \ x}$ عن متغير المعادلة (المتغير التابع) ${\displaystyle \ y(x)}$.

${\displaystyle \ y'=f(ax+by+c)}$

نرمز: ${\displaystyle \ z=ax+by+c}$ ومنها نعود لمعادلة فصل المتغيرات.

نوصل الصورة المعطاة لمعادلة قابلة للفصل عن طريق الرمز لِ ${\displaystyle \ z=y/x}$.

معادلة برنولي من الصورة ${\displaystyle \ y'+p(x)y=q(x)y^{n}}$. واضح ان ${\displaystyle \ y=0}$ هو حل للمعادلة.

نفرض أن ${\displaystyle \ y\neq 0}$، نقسم على ${\displaystyle \ y^{n}}$ :

${\displaystyle \ y'/y^{n}+p(x)y/y^{n}=q(x)}$ نرمز ${\displaystyle \ z=y/y^{n}}$ أي ${\displaystyle \ z=y^{1-n}}$، فنحصل على الدالة الخطية ${\displaystyle \ z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)}$.

نجد ${\displaystyle \ z}$ ومنها يمكننا ايجاد ${\displaystyle \ y}$ - المتغير التابع المطلوب.

لتكن ${\displaystyle \ F(x,y)}$ دالة قابلة للاشتقاق. حيث ${\displaystyle \ x(t)}$ و ${\displaystyle \ y(t)}$. حسب قاعدة السلسلة يتحقق: ${\displaystyle \ {\frac {dF}{dt}}={\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}}$

وبشكل رمزي نكتب: ${\displaystyle \ dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy}$

إذا كانت ${\displaystyle \ F(x,y)=const}$ حينئذ ${\displaystyle \ dF=0}$.

من هذا المنطلق ننظر للمعادلة ${\displaystyle \ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$:

1. إذا تحقق ${\displaystyle \ {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ حينها تسمى المعادلة معادلة تامّة.
2. وإذا كانت دالة ${\displaystyle \ F(x,y)}$ تحقق:

${\displaystyle \ {\frac {\partial F}{\partial x}}=P(x,y)}$ وأيضاً ${\displaystyle \ {\frac {\partial F}{\partial y}}=Q(x,y)}$. تكون المعادلة شبيهة ل ${\displaystyle \ dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy}$ وحينها نقول الحل هو ${\displaystyle \ F(x,y)=c}$ .

إذا لم تكن المعادلة تامّة، أي أن ${\displaystyle \ {\frac {\partial P}{\partial y}}\neq {\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ حينها نستعين بمعامل التكامل ${\displaystyle \ \mu (x,y)}$ بحيث : ${\displaystyle \ \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy=0}$ نطلب:

${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial y}}(\mu (x,y)P(x,y))={\frac {\partial }{\partial y}}(\mu (x,y)Q(x,y)}$

ملاحظة:بشكل عام نطلب ان ${\displaystyle \ \mu (x)}$ -متعلقة فقط ب ${\displaystyle \ x}$ أو نطلب ان ${\displaystyle \ \mu (y)}$ -متعلقة فقط ب ${\displaystyle \ y}$ وذلك حسب المعادلة التي نريد حلها.

حقل الاتجاه: نستطيع تمثيل ميل كل حل خاص على المحور بواسطة اسهم -لا يوجد معنى لطول السهم- ، بحيث ان اختيار شرط بدائي يعطينا حل واحد هو دالة.

• • إذا قمنا بالوصل بين الاسهم تظهر الحلول.

عائلة حلول في المعادلة المعطاة. اختيار شرط بدائي يعطي حل واحد هو دالة.

معطى: ${\displaystyle \ y(x_{0})=y_{0}}$ وأيضاَ ${\displaystyle \ y'=f(x,y)}$

نفرض أن الدالة ${\displaystyle \ f(x,y)}$ وكل مشتقاتها الجزئية حسب ${\displaystyle \ y}$ متصلة في المجال ثنائي البعد ${\displaystyle \ D}$ في محور ${\displaystyle \ (x,y)}$ وهذا المجال يحوي نقطة الشرط الحدي (أنظر شروط الحدية ) ${\displaystyle \ (x_{0},y_{0})}$.

فنقول أنه موجود منطقة مستطيلة${\displaystyle \ [x_{0}-h,x_{0}+h]}$ للنقطة ${\displaystyle \ x_{0}}$ على الأقل في المجال ${\displaystyle \ x_{0}-h\leq x\leq x_{0}+h}$ فيه حل موجود وهو ${\displaystyle \ y(x)}$. وهو واحد ووحيد.

• Hazewinkel, Michiel, المحرر (2001), "Differential equation, ordinary", Encyclopedia of Mathematics, سبرنجر, ISBN 978-1-55608-010-4 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
• Differential Equations على مشروع الدليل المفتوح (includes a list of software for solving differential equations).
• Online Notes / Differential Equations by Paul Dawkins, Lamar University.
• Differential Equations, S.O.S. Mathematics.
• A primer on analytical solution of differential equations from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of جامعة إلينوي في إربانا-شامبين.
• Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha

في كومنز صور وملفات عن: معادلة تفاضلية عادية

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي