مبرهنة بيكار ليندلوف

لنعتبر الدالة الرياضية ${\displaystyle F:\mathbb {R} \supset [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ دالة رياضية متصلة(continous) تتوفر فيها شروط إتصال ليبشيتز. في هذه الحالة فإن حل المعادلة التفاضلية
${\displaystyle y(0)=y_{0}\!}$ و${\displaystyle \forall x\in (0,a):\;y'(x)=F(x,y(x))}$
موجود ووحيد. أي أنه يمكن حل المعادلة التفاضلية وأنه يوجد حل واحد للمعادلة

معطى: ${\displaystyle \ y(x_{0})=y_{0}}$ وأيضاَ ${\displaystyle \ y'=f(x,y)}$

نفرض ان الدالة ${\displaystyle \ f(x,y)}$ وكل مشتقاتها الجزئية حسب ${\displaystyle \ y}$ متصلة في المجال الثنائي البعد ${\displaystyle \ D}$ في محور ${\displaystyle \ (x,y)}$ وهذا المجال يحوي نقطة الشرط الحدي (أنظر شروط الحدية ) ${\displaystyle \ (x_{0},y_{0})}$.

فنقول انه موجود منطقة مستطيلة${\displaystyle \ [x_{0}-h,x_{0}+h]}$ للنقطة ${\displaystyle \ x_{0}}$ على الاقل في المجال ${\displaystyle \ x_{0}-h\leq x\leq x_{0}+h}$ فيه حل موجود وهو ${\displaystyle \ y(x)}$. وهو واحد ووحيد.

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي