مبرهنة فيرما الأخيرة

لم يترك فيرما أي برهان لهذه الحدسية بالنسبة لأي عدد ${\displaystyle n}$، ولكنه برهن على الحالة الخاصة ${\displaystyle n=4}$. هذه الخطوة اختصرت المعضلة في البرهان على المبرهنة بالنسبة لقيم أولية للأس ${\displaystyle n}$. خلال القرنين التاليين (1637-1839)، بُرهن على الحدسية بالنسبة للأعداد الأولية 3 و5 و 7 فقط، رغم أن صوفي جرمين برهنت على حالة خاصة بالنسبة لجميع الأعداد الأولية الأصغر من المائة. في منتصف القرن التاسع عشر، برهن إرنشت كومر على المبرهنة بالنسبة للأعداد الأولية النظامية. اعتمادا على عمل كومر وباستعمال دراسات حاسوبية معقدة، استطاع علماء رياضيات آخرون البرهان على الحدسية بالنسبة لجميع القيم الأولية للأس إلى حدود أربعة ملايين.

جاء البرهان على الحدسية بالنسبة لجميع قيم ${\displaystyle n}$ في نهاية القرن العشرين. في عام 1984، اقترح جيرار فراي المقاربة التي تتمثل في البرهان على الحدسية من خلال البرهان على مبرهنة النمطية بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية. اعتمادا على أعمال كين ريبيت، نجح أندرو وايلز في البرهان من مبرهنة النمطية لما يكفي للبرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة. استعان في ذلك بريتشارد تايلور. تحدثت الصحافة الشعبية ووسائل الإعلام المختلفة بشكل واسع عن إنجاز وايلز.

تنص المبرهنة على ما يلي:

لايمكن أن نفرق مكعبًا إلى مكعبين، ولا أن نفرق قوة رابعة إلى قوتين رابعتين. وعموماً يستحيل لأي قوة أعلى من القوة الثانية أن تُفرق إلى مجموع من قوتين من نفس الدرجة.

الاستراتيجية النهائية والناجحة في البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة، تمثلت في البرهان على مبرهنة النمطية. وصفت هذه الاستراتيجية في البداية من طرف جيرار فراي، وكان ذلك عام 1984. أشار فراي إلى أنه إذا كان لمعادلة فيرما حل ${\displaystyle (a,b,c)}$ بالنسبة لأس p، فإن المنحنى الإهليلجي ذا المعادلة

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$

سيمتلك خصائص غير معهودة تمنعه من أن يكون نمطيا. هذا يتعارض مع مبرهنة النمطية التي تنص على أن جميع المنحنيات الإهليلجية هي نمطية.

برهان وايلز العام

عالم الرياضيات البريطاني أندرو وايلز

•  مقالات مفصلة: أندرو وايلز
• برهان وايلز على مبرهنة فيرما الأخيرة

وصل برهان ريبيت على حدسية إيبسيلون في عام 1986 إلى أحد الهدفين اللذان حددتهما استراتيجية فراي من أجل البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة.

التقنيات الرياضية المستعملة من طرف فيرما في برهانه العجيب ليست معروفة. برهان مفصل واحد فقط لفيرما قاوم النسيان، والذي ينص على عدم وجود أعداد أولية فيما بينها ${\displaystyle (x,y,z)}$ حيث تتحقق المعادلة ${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{4}}$.

برهان وايلز وتايلور اعتمد على تقنيات رياضية طورت في القرن العشرين. وقد تكون هذه التقنيات صعبة المنال حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات الذين عملوا على مبرهنة فيرما والذين عاشوا قرنا من الزمان من قبل.

الحدسية الكبرى لهارفي فريدمان تعني أنه من الممكن البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة باستعمال الحسابيات الابتدائية.

في عام 1816، وفي عام 1850 أيضا، اقترحت الأكاديمية الفرنسية للعلوم جائزة مالية لمن يعطي حلا عاما لمعادلة فيرما الأخيرة. في عام 1875، منحت الأكاديمية ثلاثة آلاف فرنكا وميدالية ذهبية لكومر لأبحاثه في هذا المجال رغم أنه لم يطلب ذلك. منحت أيضا جائزة مالية أيضا عام 1883 من طرف أكاديمية بروكسل.

• حدسية أويلر حول مجموع القوى
• أعداد صوفي جرمين الأولية
• مبرهنة فيرما (للنقاط القصوى)

في كومنز صور وملفات عن: مبرهنة فيرما الأخيرة

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد