مبرهنة أويلر

لتكن ${\displaystyle R=\{x_{1},x_{2},...,x_{\varphi (n)}\}}$ _{نظام بواقي مصغر (mod n) ولتكن a عدداً صحيحاً أولي نسبياً مع n.}

البرهان مبني على أن الضرب بـa يدوّر الباقي x_i: بكلمات أخرى إذا كان ${\displaystyle ax_{j}\equiv ax_{k}{\pmod {n}}}$ فإن ${\displaystyle j=k}$.

ما يعني أن المجموعات ${\displaystyle R}$ و ${\displaystyle aR=\{ax_{1},ax_{2},...,ax_{\varphi (n)}\}}$ بأخذهم (mod n) فإن لهم نفس الباقي، مايعني أن حاصل ضرب عناصر المجموعة R مساوٍ لـ aR :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{\varphi (n)}x_{i}\equiv \prod _{i=1}^{\varphi (n)}ax_{i}\equiv a^{\varphi (n)}\prod _{i=1}^{\varphi (n)}x_{i}{\pmod {n}},}$ وبالتالي نستطيع التخلص من x_i ونحصل على مبرهنة أويلر:

${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}.}$

• مبرهنة كارمايكل
• مبرهنة فيرما الصغرى
• نظرية ويلسون

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: مطبعة جامعة أكسفورد, ISBN 978-0-19-853171-5 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)== وصلات خارجية ==
• إيريك ويستاين، {{{title}}}، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• Euler's Theorem at PlanetMath

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد