فصل المتغيرات

أولئك الذين لا يحبون ترميز لايبنز قد يفضلون كتابة هذا كـ

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

لكن هذا ليس مفيداً في توضيح سبب تسمية هذا بـ "فصل المتغيرات". نُكامل طرفي المعادلة بالنسبة ل${\displaystyle x}$ ، نملك

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (1)}$

أو بصيغة مكافئة،

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

بسبب قاعدة التعويض عن التكاملات .

إذا كان بإمكان المرء إيجاد حلول التكاملات ، فيمكنه إيجاد حل للمعادلة التفاضلية. لاحظ أن هذه العملية تسمح لنا بمعاملة المشتق بشكل فعال${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ ككسر يمكن فصله. يتيح لنا ذلك حل المعادلات التفاضلية القابلة للفصل بسهولة أكبر ، كما هو موضح في المثال أدناه.

لاحظ أننا لا نحتاج إلى استخدام ثابتين للتكامل ، في المعادلة (1) كما في

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

لأنه ثابت واحد${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$ معادل. )

غالبًا ما يتم نمذجة النمو السكاني خلال المعادلة التفاضلية التالية

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

حيث أن ${\displaystyle P}$ هو عدد السكان بالنسبة للزمن ${\displaystyle t}$ ،و ${\displaystyle k}$ هو معدل النمو السكاني ، و${\displaystyle K}$ هي القدرة الاستيعابية للبيئة.

يمكن استخدام فصل المتغيرات لحل هذه المعادلة التفاضلية.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\\[5pt]&\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

لإيجاد التكامل في الطرف الأيسر ، نبسط الكسر

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}$

ثم نحلل الكسر إلى كسور جزئية

${\displaystyle {\frac {K}{P(K-P)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}$

وبالتالي يصبح لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]{\text{Let }}&A=\pm e^{-C}.\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}\end{aligned}}}$

لذلك ، يصبح حل المعادلة اللوجستية هو

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

لايجاد ${\displaystyle A}$ ، نعوض ${\displaystyle t=0}$ و${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$ . يصبح لدينا

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$

نلاحظ أن ${\displaystyle e^{0}=1}$ ، نقوم بالحل لـنحصل على قيمة A

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات