تناظر الترجمة الزمنية

لشرح تناظر الترجمة الزمنية بشكل رسمي، نقول المعادلات، أو القوانين، التي تصف النظام في بعض الأحيان ${\displaystyle t}$و ${\displaystyle t+\tau }$هي نفسها لأي قيمة من ${\displaystyle t}$ و ${\displaystyle \tau }$.

على سبيل المثال، مع الأخذ في الاعتبار معادلة نيوتن:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {dV}{dx}}(x)}$

يجد المرء لحلوله ${\displaystyle x=x(t)}$ المزيج:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {x}}(t)^{2}+V(x(t))}$

لا يعتمد على المتغير ${\displaystyle t}$.بطبيعة الحال، هذه الكمية تصف الطاقة الكلية التي يرجع الحفاظ عليها إلى زمن الترجمة غير المتماثلة لمعادلة الحركة. من خلال دراسة تكوين تحويلات التماثل، على سبيل المثال، من الأشياء الهندسية، يصل المرء إلى استنتاج مفاده أنهم يشكلون مجموعة، بشكل أكثر تحديدًا، مجموعة تحويل الكذب إذا اعتبر المرء تحويلات متناظرة متواصلة. تشكل التماثلات المختلفة مجموعات مختلفة مع أشكال هندسية مختلفة. تشكل أنظمة هاميلتون المستقلة عن الزمن مجموعة من الترجمات الزمنية التي يصفها غير المضغوط،ابليان،مجموعة الكذب ${\displaystyle \mathbb {R} }$،لذا، فإن TTS هو تناظر حيوي أو هاملتوني لا يعتمد على التماثل الحركي الذي سيكون متماثلاً مع مجموعة هاميلتونيت كلها. يمكن رؤية أمثلة أخرى في دراسة تطور الوقت معادلات الفيزياء الكلاسيكية والكمية.

العديد من المعادلات التفاضلية التي تصف معادلات تطور الزمن هي تعبيرات عن الثوابت المرتبطة ببعض مجموعة الكذب وتقدم نظرية هذه المجموعات وجهة نظر موحدة لدراسة جميع الوظائف الخاصة وكل خصائصها. في الواقع،سوفوس لاي اخترع نظرية مجموعات الكذب عند دراسة تناسق المعادلات التفاضلية. يرتبط تكامل معادلة تفاضلية (جزئية) بطريقة فصل المتغيرات أو بطرق الجبر الوراثي ارتباطًا وثيقًا بوجود التماثلات. على سبيل المثال، يمكن تتبع إمكانية الذوبان الدقيق لمعادلة شرودنغر في ميكانيكا الكم مرة أخرى إلى الثغرات الأساسية. في الحالة الأخيرة، يسمح التحقيق في التماثلات بتفسير الانحطاطات ، حيث تكون التكوينات المختلفة لها نفس الطاقة، والتي تحدث عادة في طيف الطاقة في الأنظمة الكوانتية. غالبا ما يتم صياغة التماثلات المستمرة في الفيزياء من حيث التحولات متناهية الصغر بدلا من التحولات المحدودة، أي واحد يعتبر الجبر الكذب بدلا من مجموعة الكذب للتحولات.

المقالات الرئيسية: مؤثر (فيزياء) ، مشغل الترجمة (ميكانيكا الكم) ، مشغل الطاقة ، و التناظر في ميكانيكا الكم

ثبات هاملتوني ${\displaystyle {\hat {H}}}$ من نظام معزول في إطار الترجمة الزمنية يعني أن طاقته لا تتغير مع مرور الوقت. حفظ الطاقة يعني، وفقا لمعادلات هايزنبرغ للحركة،

أن ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {H}}]=0}$

${\displaystyle [e^{i{\hat {H}}t/\hbar },{\hat {H}}]=0}$

أو :

${\displaystyle [{\hat {T}}(t),{\hat {H}}]=0}$

حيث أن ${\displaystyle {\hat {T}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }}$ هو مشغل الترجمة الوقت الذي ينطوي على ثبات هاملتونى في إطار عملية ترجمة الوقت ويؤدي إلى الحفاظ على الطاقة.

في العديد من النظريات الحقلية غير الخطية مثل النظرية العامة أو نظريات يانغ-ميلز ، تكون معادلات المجال الأساسية عالية اللاخطية والحلول الدقيقة معروفة فقط بتوزيعات "متناسقة بشكل كاف" للمادة (على سبيل المثال، التكوينات الدورانية أو المحورية المتماثلة). لا يتم ضمان تناظر الترجمة الزمنية إلا في الفترات الزمنية التي يكون فيها المقياس ثابتًا: أي حيث يوجد نظام إحداثيات لا تشتمل فيه معاملات القياس على متغير زمني. العديد من أنظمة النسبية العامة ليست ثابتة في أي إطار مرجعي حتى لا يمكن تعريف الطاقة المحفوظة.