تمثيل زمرة

إن تمثيل زمرة G على الفضاء المتجهي V في الحقل الرياضي K هو عبارة عن تشاكل الزمر من القيمة G إلى القيمة GL(V), وهي الزمرة الخطية العامة على V. وهذا يعني، التمثيل هو رسم بياني

${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)\,\!}$

حيث

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.\,\!}$

وهنا V يُسمَّى الفضاء التمثيلي بينما بُعد V يُسمَّى بُعد التمثيل. ومن الإجراءات المُتبعَّة الإشارة إلى القيمة V نفسه على أنه التمثيل عندما يكون التشاكل واضحًا من السياق.

وفي حالة كون القيمة V من البُعد المتناه n فمن الشائع اختيار أساسًا لV وتحديد GL(V) باستخدام GL(n, K) زمرة n-في-n معكوس المصفوفة في الحقل الرياضي K.

• إذا كان G زمرة طوبولوجية V هي الفضاء الاتجاهي الطوبولوجي، إذًا فإن التمثيل المُتصِّل لG في V هو التمثيل (ρ) حيث إن التطبيق ${\displaystyle \Phi :G\times V\to V}$ مُحدَّد باستخدام ${\displaystyle \Phi (g,v)=\rho (g)(v)}$ يكون مُتصِّلًا.
• كما أن أساس التمثيل ρ لزمرة G يساوي الزمرة الفرعية القياسيَّة لG ورمزه الذي يدخل ضمن ρ يصبح التحويل المُتطابق:

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}\,\!.}$

A التمثيل الوفيّ هو التمثيل حيث يحدث أن تشابه الشكلG → GL(V) يكون تباينيًا; بمعنى آخر، التمثيل الذي يكون أساسه هو الزمرة الفرعية البسيطة {e} وتتكوَّن فقط من العنصر الحيادي للزمرة.

• فإذا كان هناك K فضاءان اتجاهيَّان V وW, إذًا التمثيلان

${\displaystyle \rho _{1}\colon G\to GL(V)\,\!}$

and

${\displaystyle \rho _{2}\colon G\rightarrow GL(W)\,\!}$

يصبحان متساويين أو تماثليين إذا تواجد فضاء اتجاهي يساوي الشكل

${\displaystyle \alpha \colon V\to W\,\!}$

وبذلك لكل g في G

${\displaystyle \alpha \circ \rho _{1}(g)\circ \alpha ^{-1}=\rho _{2}(g).\,\!}$

• تمثيل زمرة منتهية
• زمرة (رياضيات)

• Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات