ترابط تلقائي

يصف الترابط التلقائي لعملية عشوائية في الإحصاء الترابط بين العملية عند عدة نقاط من الزمن. مثلاً ليكن X_t هو قيمة العملية عند الزمن t، إذا كان لX_t متوسط μ_t وتباين σ_t² عندها من الممكن تعريف الارتباط التلقائي بالشكل:

${\displaystyle R(t,s)={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})]}{\sigma _{t}\sigma _{s}}}\,}$

حيث "E" هي معامل القيمة المتوقعة. لاحظ أن هذه العلاقة لا تكون صحيحة في جميع الحالات حيث أن قيمة σ_t² قد تصبح مساوية للصفر من أجل عملية ثابتة. إذا كان R معرفة بشكل صحيح ستتراوح قيمتها في المجال بين [−1, 1]، حيث تشير القيمة 1 إلى الترابط المطلق، وتشير القيمة −1 إلى اللاترابط.

إذا كان X_t هو عملية ثابتة فهذا يعني أن المتوسط μ والتباين σ² هما مستقلان عن الزمن وبالتالي فإن الترابط التلقائي يكون معتمداً فقط على الفرق بين t وs، أي أن الترابط التلقائي يعتمد على المسافة الزمنية بين القيمتين وليس على موقعهما على محور الزمن. وهذا يؤدي إلى التعبير عن الترابط التلقائي على أنه تابع للزمن وسيكون دالة زوجية للزمن τ = t − s. وهذا سيؤدي إلى الصيغة الأكثر شهرة للترابط التلقائي

${\displaystyle R(\tau )={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}\,}$

ومن الممكن التعبير عن حقيقة أن الترابط التلقائي هو دالة زوجية على الشكل:

${\displaystyle R(\tau )=R(-\tau ).\,}$

يتم عادة إسقاط عملية التصحيح على σ² واستخدام المصطلح "ترابط تلقائي" بشكل مرادف للمصطلح "تغاير تلقائي". إلا أن التصحيح ذو أهمية بسبب تفسير الترابط التلقائي على أنه ترابط يزود بأداة قياس دون مقياس لقوة الاستقلال الإحصائي وبسبب أن التصحيح له تأثير على الخصائص الإحصائية للترابط التلقائي المتوقع.

يتم الحصول على الترابط التلقائي لعملية متقطعة بمسرد ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ ذات

متوسط ${\displaystyle {\mathcal {}}\lbrace X_{1},X_{2},...,X_{n}\rbrace }$ وتباين معروفين بالعلاقة:

${\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}[X_{t}-\mu ][X_{t+k}-\mu ]}$

في مجال معالجة الإشارة يستخدم التعريف السابق عادة بدون تصحيح، أي بدون القسمة على المتوسط أو التباين.

من أجل إشارة معطاة f(t) يعطى الترابط التلقائي المستمر R_ff(τ) على شكل تكامل الترابط التلقائي للإشارة f(t) مع نفسها على طول الفترة الزمنية τ.

${\displaystyle R_{ff}(\tau )={\overline {f}}(-\tau )*f(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f}}(t-\tau )\,dt}$

حيث ${\displaystyle {\bar {f}}}$ يمثل نظير العدد العقدي و${\displaystyle *}$ يمثل الالتفاف للدالة الحقيقية ${\displaystyle {\bar {f}}=f}$.

يعطى الترابط التلقائي المتقطع R عند الزمن j لإشارة متقطعة x_n بالعلاقة:

${\displaystyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}{\overline {x}}_{n-j}\ .}$