اللولب اللوغاريتمي

اللولب اللوغريثمي (بالإنجليزية: Logarithmic spiral)‏ هو منحنى حلزوني ذو تشابه ذاتي والذي يظهر غالبًا في الطبيعة. تم وصف اللولب اللوغاريتمي لأول مرة بواسطة رينيه ديكارت ثم قام ياكوب بيرنولي بالتحقيق فيه على نطاق واسع.

لولب لوغريثمي (pitch 10°)

في النظام الإحداثي القطبي ${\displaystyle (r,\theta )}$ يمكن رسم منحنى اللوغاريتم وفق الآتي:[1]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

أو

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

مع كون ${\displaystyle e}$ قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية وكونها ثوابت حقيقية في الشكل البارامتري، يكون المنحنى:

${\displaystyle x(t)=r(t)\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,}$

${\displaystyle y(t)=r(t)\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,}$

مع العددين الحقيقين ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$. يحتوي اللولب على خاصية أن الزاوية بين المماس والقطر عند النقطة ثابت. يمكن التعبير عن هذه الخاصية في علاقات هندسية تفاضلية

${\displaystyle \arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arctan {\frac {1}{b}}=\phi .}$

مشتق ال${\displaystyle \mathbf {r} (\theta )}$ يتناسب مع المعلمة ${\displaystyle b}$ بمعنى آخر ${\displaystyle b=0}$ (${\displaystyle \textstyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$) يصبح اللولب دائرة من نصف القطر ${\displaystyle a}$ وفي الحد الذي يقترب من اللانهاية يميل اللولب نحو نصف مستقيم، زاوية ال${\displaystyle \phi }$ تسمى pitch