هوية سومرفيلد

هوية سومرفيلد هي هوية رياضياتية، اكتشفت عن طريق أرنولد سومرفيلد و تستعمل في نظرية انتشار الموجات.

هذه مقالة غير مراجعة. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن يراجعها محرر مغاير للذي أنشأها؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة بقوالب الصيانة المناسبة. يمكن أيضاً تقديم طلب لمراجعة المقالة في الصفحة المُخصصة لذلك. (فبراير 2021)

هذه المقالة يتيمة إذ لا تصل إليها مقالة أخرى. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها. (فبراير 2021)

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

حيث

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

تًُأخذ بالجزء الموجب الحقيقي، لتأكيد انحصار التكامل و تلاشيه عندما ${\displaystyle {\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }}$، و

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$

هنا ${\displaystyle R}$ هي المسافة من نقطة المركز بينما ${\displaystyle r}$ هي المسافة من المحور المركزي لاسطوانة كما في نظام الإحداثي أسطواني ${\displaystyle {\displaystyle (r,\phi ,z)}}$. هنا طريقة كتابة الرموز لدالة بيسل تتبع النظام الألماني، حت تكون على اتساق مع طريقة كتابة الرموز الأصلية المتبعة من سومرفيلد. الدالة ${\displaystyle {\displaystyle I_{0}(z)}}$ هل من المستوى صفر لدالة بيسل من النوع الأول، أو ما يعرف بـ ${\displaystyle {\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}}$ في الطريقة الإنجليزية. هذه الهوية هي هوية سومرفيلد. [1]

يمكن كتابة هذه الهوية بطريقة أخرى، حيث أنها يمكن أن توجد بشكل أسهل كامتداد لموجة كروية بطريقة الموجات المتماثلة بشكل اسطواني:[2]

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

حيث

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

طريقة كتابة الرموز هنا مختلفة عما سبق، إذ أن ${\displaystyle r}$ هنا هي المسافة من نقطة الأصل و ${\displaystyle {\displaystyle \rho }}$ هي المسافة نصف القطرية كما في نظام الإحداثي أسطواني المعرف كـ ${\displaystyle {\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}}$. المعنى الفيزيائي هنا هو أن الموجة الكروية يمك أن تتوسع إلى مجموع من الموجوات الأسطوانية في الاتجاه ${\displaystyle \rho }$، مضروبة بموجة مستوية ثنائية الأوجه في الاتجاه ${\displaystyle z}$. يجب أن يأخد هذا المجموع لجميع أرقام الموجة ${\displaystyle {\displaystyle k_{\rho }}}$.

تعتبر هوية سومرفيلد مرتبطة بشكل قريب بتحويل فورييه ثنائي الأبعاد مع تمثال أسطواني، على سبيل المثال، كتحويل هانكل. يمكن الحصول عليها عند تحويل الموجة الكروية على طول الإحداثيات المستوي ${\displaystyle {\displaystyle x},{\displaystyle y)}}$ أو ${\displaystyle {(\displaystyle \rho },{\displaystyle \phi }}$، مع عدم التحويل على طول الارتفاع ${\displaystyle z}$.