نمو أسي

نفترض في الدالة الأسية أن القيمة ${\displaystyle B(t)}$ تعتمد على الزمن ${\displaystyle t}$.

وصيغة الدالة تأخذ الشكل:

${\displaystyle B(t)=A\cdot a^{t}}$

حيث:

${\displaystyle A>0}$ و ${\displaystyle a>0}$

أو من الممكن أن تأخذ تلك المعادلة الشكل :

${\displaystyle B(t)=A\cdot e^{\lambda t}}$

حيث e ثابت رياضي :

${\displaystyle \lambda =\ln(a)}$

ونظرا لأن

${\displaystyle B(0)=A}$

تكون القيمة ${\displaystyle A}$ هي القيمة الابتدائية عند الزمن ${\displaystyle t=0}$

تصبح ${\displaystyle a>1}$, وبالتالي ${\displaystyle \lambda >0}$, وهذه الحالة هي حالة نمو أسي.

معادلة التحلل الإشعاعي هي مثال لـ لمعادلة الإضمحلال الأسي، وهي تشبه المعادلة السابقة التي تصف النمو الأسي، إلا أن يُضاف إليها في أس الثابت الرياضي e علامة الناقص (-)، كالأتي:

${\displaystyle N(t)=N_{0}\,e^{-{\lambda }t}=N_{0}\,e^{-t/\tau }.\,\!}$

منحنيات تضاؤل الإشعاع من عينة مشعة (المحور الرأسي) مع الزمن (المحور الأفقي) في ثلاثة حالات : (الأحمر) يصف حالة عنصر مشع دو عمر نصف طويل، والمنحنى (الأخضر) يصف تحلل عنصر له عمر نصف قصير τ ؛ يفقد خاصية إشعاعه بسرعة.

حيث :

N₀ هي عدد الذرات المشعة N عند الزمن (t = 0).

وتبين المعادلة N(t) أن ثابت التحلل λ له وحدة 1/الزمن، وبالتالي يمكن صيغتها في صورة τ حيث تـُعطي τ نصف العمر أو عمر النصف لتحلل العنصر (وهي خاصية طبيعية لكل عنصر مشع ـ وتختلف باختلاف العناصر ؛ الفيزيائيون يعرفون أن نصف عمر العناصر المشعة يختلف بشكل كبير من عنصر إلى عنصر، بعضها قد يكون جزءا من الثانية وبعضها يبلغ ملايين السنين.)

وعلاقة τ ب ${\displaystyle {\lambda }}$ كالآتي :

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$

وتمثل الدالة الأسية لأساس الثابت الطبيعي e معدل التحلل في المعادلة الثانية. وفي العادة يكون عدد ذرات العينة كبير جدا مقارب لعدد أفوجادرو بحيث يكون وصف تلك المعادلة لمعدل التحلل وصفا جيدا.

• فائدة
• تكاثر الخلايا
• دالة لوجستية

• بوابة رياضيات
• بوابة الاقتصاد