نزول غير منته

ليكن k عددا صحيحا موجبا. ليُفترض أن ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$ عدد ليس صحيحا ولكنه جذري (أي أنه يكتب على شكل كسر حيث m و n عددان صحيحان أوليين فيما بينهما) وليكن q هو الجزء الصحيح لجذر k التربيعي.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[8pt]&={\frac {m({\sqrt {k}}-q)}{n({\sqrt {k}}-q)}}\\[8pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq}}\\[8pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}{\text{ }}\end{aligned}}}$

يحصل على هذال المتساوية الأخيرة بتعويض الظهور الأول ل m في البسط بقيمته ${\displaystyle n{\sqrt {k}}}$ وبتعويض ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$ في المقام بقيمته ${\displaystyle m/n}$. باستعمال تعريف دالة الجزء الصحيح، يستنتج ببساطة أن ${\displaystyle m-nq<n}$. وهذا يتناقض مع الفرضية الأولى والتي تنص على أنه لا يوجد أي عدد صحيح طبيي أصغر قطعا من n يمكن أن يكون مقاما لكسر مساو ل ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$.