معادلة أفرامي

مخطط تحويل حراري نموذجي (أعلى). يمكن وصف التحويل باستخدام معادلة أفرامي كقطعة من lnln (1 / (1-Y)) مقابل ln (t) التي تعطي خطًا مستقيمًا

غالبًا ما يُنظر إلى التحويلات على أنها تتبع ملف تعريف مميز على شكل حرف S ، أو شكل سيني ، حيث تكون معدلات التحويل منخفضة في بداية ونهاية التحول ولكنها سريعة .

يمكن أن يعزى المعدل البطيء الأولي إلى الوقت المطلوب لعدد كبير من نوى المرحلة الجديدة لتشكيل وبدء النمو. خلال الفترة المتوسطة ، يكون التحول سريعًا حيث تنمو النوى إلى جزيئات وتستهلك المرحلة القديمة بينما تستمر النوى في التكوين في المرحلة الرئيسية المتبقية.

بمجرد أن يقترب التحول من الاكتمال ، يبقى القليل من المواد غير المحولة لمزيد من التنوي ويبدأ إنتاج الجسيمات الجديدة في التباطؤ. بالإضافة إلى ذلك ، تبدأ الجسيمات التي تم تكوينها سابقًا في لمس بعضها البعض ، لتشكيل حد حيث يتوقف النمو.

أبسط اشتقاق لمعادلة افرامي هو عدد من الافتراضات والتبسيطات الهامة: [5]

• يحدث التنوي بشكل عشوائي ومتجانس على كامل الجزء غير المحول من المادة
• لا يعتمد معدل النمو على مدى التحول
• يحدث النمو بنفس المعدل في جميع الاتجاهات

إذا تم استيفاء هذه الشروط ثم تحول ${\displaystyle \alpha \,\!}$ إلى ${\displaystyle \beta \,\!}$ ستستمر بتنوي الجسيمات الجديدة بمعدل ${\displaystyle {\dot {N}}\,\!}$ لكل وحدة حجم تنمو بمعدل ${\displaystyle {\dot {G}}\,\!}$ إلى جزيئات كروية وتتوقف عن النمو فقط عندما تتعارض مع بعضها البعض.

خلال فترة زمنية ، ${\displaystyle 0<\tau <t\,\!}$ ، التنوي والنمو يمكن أن يحدث فقط في مادة غير محولة. ومع ذلك ، يتم حل المشكلة بسهولة أكبر من خلال تطبيق مفهوم الحجم الموسع - حجم المرحلة الجديدة التي ستتشكل إذا كانت العينة بأكملها لا تزال غير محولة. خلال الفترة الزمنية من τ إلى τ + dτ سيتم إعطاء عدد النوى ، N ، التي تظهر في عينة من الحجم V كالتالي:

${\displaystyle N=V{\dot {N}}d\tau \,\!}$ [1]

أي ان ${\displaystyle {\dot {N}}\,\!}$ هي إحدى المعلمتين في هذا النموذج البسيط: معدل التنوي لكل وحدة حجم ، والذي يُفترض أن يكون ثابتًا. بما أن النمو هو خواص ثابتة ودون عوائق من المواد التي تم تحويلها سابقًا ، ستنمو كل نواة إلى دائرة نصف قطرها ${\displaystyle {\dot {G}}(t-\tau )}$ وبالتالي فإن الحجم الموسع لل ${\displaystyle \beta }$ ستكون:

${\displaystyle dV_{\beta }^{e}={\frac {4\pi }{3}}{\dot {G}}^{3}(t-\tau )^{3}V{\dot {N}}d\tau \,\!}$

أي ان ${\displaystyle {\dot {G}}\,\!}$ هي ثاني معلمتين في هذا النموذج البسيط: سرعة نمو البلورة ، التي يفترض أيضًا أنها ثابتة. تكامل هذه المعادلة بين ${\displaystyle \tau =0}$ و ${\displaystyle \tau =t}$ سوف ينتج إجمالي الحجم الممتد الذي يظهر في الفاصل الزمني كالتالي:

${\displaystyle V_{\beta }^{e}={\frac {\pi }{3}}V{\dot {N}}{\dot {G}}^{3}t^{4}\,\!}$

فقط جزء صغير من هذا الحجم الموسع حقيقي. جزء منه يكمن في مادة تم تحويلها مسبقًا وهو افتراضي. بما أن التنوي يحدث بشكل عشوائي ، فإن جزء الحجم الممتد الذي يتشكل خلال كل زيادة زمنية حقيقية سيكون متناسبًا مع جزء الحجم الغير المحول ${\displaystyle \alpha }$ . هكذا:

${\displaystyle dV_{\beta }=dV_{\beta }^{e}\left(1-{\frac {V_{\beta }}{V}}\right)\,\!}$

المعاد ترتيبها تكون هكذا

${\displaystyle {\frac {1}{1-V_{\beta }/V}}dV_{\beta }=dV_{\beta }^{e}\,\!}$

وعند الاندماج

${\displaystyle \ln(1-Y)=-V_{\beta }^{e}/V\,\!}$

حيث Y هو جزء من حجم ${\displaystyle \beta }$ ( ${\displaystyle V_{\beta }/V}$ ).

بالنظر إلى المعادلات السابقة ، يمكن اختزال هذا إلى الشكل الأكثر شيوعًا لمعادلة افرامي (جيماك) التي تعطي جزءًا من المادة المحولة بعد فترة انتظار عند درجة حرارة معينة كالتالي:

${\displaystyle Y=1-\exp[-K(t)^{n}]\,\!}$     ${\displaystyle K=\pi {\dot {N}}{\dot {G}}^{3}/3\,\!}$   و   ${\displaystyle n=4\,\!}$

يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle \ln \,{(-\ln {[1-Y(t)]})}=\ln K+n\ln t\,\!}$

الذي يسمح بتحديد الثوابت n و k من قطعة من lnln (1 / (1-Y)) مقابل ln (t). إذا كان التحويل يتبع معادلة أفرامي ، فإن هذا ينتج خطًا مستقيمًا مع التدرج n والتقاطع ln K.

ينتهي التبلور إلى حد كبير عندما ${\displaystyle Y}$ تصل إلى قيم قريبة من 1 ، والتي ستكون في وقت التبلور ${\displaystyle t_{X}}$ معرفة بواسطة ${\displaystyle Kt_{X}^{n}\sim 1}$ ، ثم المصطلح الأسي في التعبير أعلاه لـ ${\displaystyle Y}$ سيكون اصغر. وبالتالي يستغرق التبلور وقتًا من النظام يساوي:

${\displaystyle t_{X}\sim {\frac {1}{\left({\dot {N}}{\dot {G}}^{3}\right)^{1/4}}}}$

أي أن التبلور يستغرق وقتًا يتناقص كواحد على طاقة الربع لمعدل التنوي لكل وحدة حجم ، ${\displaystyle {\dot {N}}}$ ، وواحد على قوة ثلاثة أرباع سرعة النمو ${\displaystyle {\dot {G}}}$ . تنمو البلورات النمطية لبعض الاجزاء من وقت التبلور ${\displaystyle t_{X}}$ ، ولها بعد خطي ${\displaystyle {\dot {G}}t_{X}}$ أو كالتالي:

${\displaystyle {\mbox{crystallite linear size}}\sim {\dot {G}}t_{X}\sim \left({\frac {\dot {G}}{\dot {N}}}\right)^{1/4}}$

أي ، قوة ربع نسبة سرعة النمو إلى معدل التنوي لكل وحدة حجم. وبالتالي فإن حجم البلورات النهائية يعتمد فقط على هذه النسبة ، ضمن هذا النموذج ، وكما يجب أن نتوقع ، فإن معدلات النمو السريع ومعدلات التنوي البطيئة تؤدي إلى بلورات كبيرة. متوسط حجم البلورات من هذا الحجم الخطي النموذجي مكعب.

كل هذا يفترض الأس ${\displaystyle n=4\,\!}$ وهي مناسبة لل التنوي المتوحد (المتجانس) في ثلاثة أبعاد. على سبيل المثال ، يمكن أن تكون الأغشية الرقيقة ثنائية الأبعاد بشكل فعال ، وفي هذه الحالة إذا كان التنوي متماثلًا مرة أخرى في الأس ${\displaystyle n=3\,\!}$ . بشكل عام ، من أجل التنوي والنمو المنتظم ، ${\displaystyle n=D+1\,\!}$ ، على ${\displaystyle D\,\!}$ اي، أبعاد الفضاء التي يحدث فيها التبلور.

في الأصل ، اعتُبر أن قيمة n تتراوح بين 1 و 4 والتي تعكس طبيعة التحول المعني. في الاشتقاق أعلاه ، على سبيل المثال ، يمكن القول أن القيمة 4 لها مساهمات من ثلاثة أبعاد للنمو وواحد يمثل معدل تنوي ثابت. توجد مشتقات بديلة حيث n لها قيمة مختلفة. [6]

إذا كانت النوى مُشكلة مسبقًا ، وكلها حاضرة من البداية ، فإن التحول يرجع فقط إلى النمو ثلاثي الأبعاد للنوى و n له قيمة 3.

تحدث حالة مثيرة للاهتمام عندما يحدث التنوي في مواقع محددة (مثل حدود الحبوب أو الشوائب) التي تتشبع بسرعة بعد وقت قصير من بدء التحول. في البداية ، قد يكون التنوي عشوائيًا ويؤدي النمو إلى عوائق مما يؤدي إلى قيم عالية مثل n (3،4). بمجرد استهلاك مواقع التنوي ، سيتوقف تكوين جسيمات جديدة.

علاوة على ذلك ، إذا كان توزيع مواقع التنوي غير عشوائي ، فقد يقتصر النمو على بُعد واحد أو ثنائي الأبعاد. قد يؤدي تشبع الموقع إلى قيم n 1 أو 2 أو 3 للمواقع السطحية والحافة والنقاط ، على التوالي. [7]

• بوابة الفيزياء
• بوابة الكيمياء
• بوابة علم المواد