متباينة المجموع لتشيبيشيف

في الرياضيات، متراجحة المجموع لتشيبيشيف (بالإنجليزية: Chebyshev's sum inequality)‏ المسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف، تنص على ما يلي: إذا توفر

و

فإن

وبشكل مشابه، إذا توفر

و

فإن

[1]

البرهان

ليكن المجموع التالي

The two sequences are non-increasing, therefore aj  ak and bj  bk have the same sign for any j, k. Hence S  0.

Opening the brackets, we deduce:

whence

An alternative proof is simply obtained with the rearrangement inequality.

الصيغة المتصلة

هناك أيضا صيغة متصلة لمتراجحة المجموع لتشيبيشيف.

إذا كانت f وg دالتين ذات قيم حقيقية وقابلتين للتكامل على المجال [0,1], كلاهما تنازلي، أو كلاهما تصاعدي، فإن:

with the inequality reversed if one is non-increasing and the other is non-decreasing.

مراجع

  1. Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9. MR = 0944909 0944909. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)


    • بوابة إحصاء
    • بوابة رياضيات
    • بوابة تحليل رياضي
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.