مبرهنة التوزع المتساوي

بواسطة مبرهنة التوزع المتساوي للطاقة يمكننا حساب السعة الحرارية (أو الحرارة النوعية) ${\displaystyle C_{V}}$ لغاز مثالي عند ثبات الحجم. ونفترض أولا غاز خامل يتكون من ذرات منفردة :

تكمن طاقة الغاز في طاقة حركة ذراته (بصرف النظر عن طاقته الكيميائية) ، وتمتلك كل من ذراته الطاقة.

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}$

حيث :

${\displaystyle m}$ كتلة الذرة,

• ${\displaystyle v_{i}}$ مركبة متجه سرعة الذرة.

وكما نرى تمتلك كل ذرة 3 درجات حرية ، أي الطاقة المتوسطة لكل ذرة تبلغ :

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {3}{2}}k_{B}T}$

وبإجراء التفاضل بالنسبة إلى درجة الحرارة ${\displaystyle T}$ نحصل على السعة الحرارية ${\displaystyle C_{V}}$ ومقدارها ${\displaystyle (3/2)k_{B}}$ لكل ذرة , أي :

${\displaystyle C_{V}={\frac {3}{2}}Nk_{B}}$

لغاز أحادي الذرات مكون من عدد N من الذرات.

وبالنسبة إل غاز مكون من جزيئات ثنائية الذرات ، مثل الهيدروجين والنيتروجين والأكسجين فيأتي بالإضافة إلى ذلك درجتي حرية لدوران الجزيئ حول محور (يستطيع جزيئ مكون من ذرتين الدوران حول محورين لا ثالث لهما ، محور رأسي ومحور أفقي ، الدوران حول الرابطة لا تحتسب) ، مع اعتبار أن الحركة الاهتزازية "متجمدة". بذلك يمتلك كل جزيئ 5 درجات حرية وتبلغ سعته الحرارية :

${\displaystyle C_{V}={\frac {5}{2}}Nk_{B}}$

حيث يتكون الغاز من عدد N من الجزيئات.

تنشط الحركة الاهتزازية للجزيئات في درجات الحرارة العالية فوق نحو 1000 كلفن.

يمكن تمثيل اهتزاز الذرات في مادة صلبة بحركة هزاز توافقي. إذن، لكل اتجاه ${\displaystyle i}$ تمتلك الذرة الطاقة :

${\displaystyle E_{i}={\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}mx_{i}^{2}\omega _{0}^{2}}$

حيث:

${\displaystyle \omega _{0}}$ تردد زاوي للهزاز التوافقي ,

${\displaystyle x_{i}}$ انزياح الذرة عن موضع سكونها في الاتجاه ${\displaystyle i}$.

يمثل الشق الأول في المعادلة طاقة حركة للذرة ، والشق الثاني طاقة الوضع للذرة في المادة الصلبة.

أي تمتلك كل ذرة درجتين من درجات الحرية لكل اتجاه من اتجاهات الفراغ ، أي 6 درجات حرية في الثلاثة أبعاد. فتمتلك كل ذرة في المادة الصلبة الطاقة :

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {6}{2}}k_{B}T=3k_{B}T}$

ولدينا في الجسم الصلب ${\displaystyle N}$ من الذرات وبالتالي لدينا ${\displaystyle 6N}$ من درجات الحرية في المادة الصلبة. ونحصل على السعة الحرارية لمادة صلبة مقدارها :

${\displaystyle C=3Nk_{B}}$

هذا هو قانون دولون-بتي المعروف. ويجب مراعاة أن تكون الحركة الاهتزازية للذرات في المادة الصلبة ليست "متجمدة" (فدرجة الحرارة يجب أن تكون أعلى من درجة ديباي) ، وإلا فيجب حساب الحرارة النوعية لمادة صلبة باستخدام نموذج ديباي لاهتزاز الذرات في المواد الصلبة.