مبرهنة التقوية الصغيرة

إذا كانت دالة تحويل النظام الحلقة المفتوحة (بالإنجليزية: open loop)‏

${\displaystyle {\mathcal {}}Q(jw)}$

مستقرة فإن النظام بالحلفة المغلقة (بالإنجليزية: closed loop)‏ يكون مستقرا إذا كان ما يلي:[2]

${\displaystyle \rho (Q(jw))<1\forall w}$

حيث ${\displaystyle {\mathcal {}}\rho (A)}$ تمثل القطر الطيفي للمصفوفة A أي :

${\displaystyle \rho (A)=max_{i}\left|(\lambda _{i}(A)\right|}$

مع ${\displaystyle {\mathcal {}}\lambda (A)}$ هي القيم الذاتية للمصفوفة A

القطر الطيفي (بالإنجليزية: spectral radius)‏ لمصفوفة ما يكون دائما أصغر أو يساوي القيمة المطلقة المشتقة (بالإنجليزية: induced norm)‏ للمصفوغة A. ${\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A\right\|_{i}}$

بناء على الليما أعلاه فإنه يمكننا إعادة صياغة مبرهنة التقوية الضعيفة كما يلي: إذا كان النظام بالحلقة المفتوحة ${\displaystyle {\mathcal {}}Q}$ مستقر فإن النظام بالحلقة المغلقة يكون مستقر في حالة كان ما يلي:

${\displaystyle \left\|Q\right\|_{i}<1\forall w}$

اختيارنا للقيمة المشتقة (بالإنجليزية: 2 induced 2-norm)‏ يعطينا الصياغة التي تقول أن القيمة الفردية العليا (بالإنجليزية: maximum singular value)‏ يجب أن تكون أصغر من واحد حتى يكون النظام مستقرا.

في الأخير تجدر الإشارة إلى أن هذه المبرهنة أي شروطها كافية للاستقرار ولكنها ليست ضرورية أي أنه إذا تغيب شرط من من شروط هذه المبرهنة فإن النظام يمكن أن يكون مع ذلك مستقرا وإذا توفرت فيه شروط المبرهنة فإنه حتما مستقر.

• نظام خطي

قالب:مراج

• بوابة رياضيات