قيم ذاتية ومتجهات ذاتية

مصفوفة التحويل ${\displaystyle {\bigl [}{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ تحافظ على المتجهات الموازية ل ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ (باللون الأزرق) و${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1\\-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ باللون البنفسجي. النقط التي تقع على المستقيم المار من مركز المعلم، الموازي لمتجهة ذاتية، تبقى على هذا المستقيم بعد التحويل. المتجهات المبينة باللون الأحمر ليست متجهات ذاتية، هكذا، تغير اتجاهها بعد التحويل.

بالنسبة للمصفوفة A

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$

المتجهة

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}}$

هي متجهة ذاتية بقيمة ذاتية مساوية ل 1. يظهر ذلك من خلال ما يلي.

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 3+1\cdot (-3)\\1\cdot 3+2\cdot (-3)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}.}$

من جهة ثانية، المتجهة

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

ليست متجهة ذاتية بما أن

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 0+1\cdot 1\\1\cdot 0+2\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

وهاته المتجهة ليست مضاعفا للمتجهة الأصلية x.

انظر معادلة شرودنغر.