قياسات دائرة

تنص الأطروحة الأولى على أن:

مساحة أي دائرة مُساوية لمساحة مثلث قائم الزّاوية حيث أحد ضلعي القائمة منه مساوٍ لنصف القطر والآخر مُساوٍ لمحيط الدائرة.

أي أن أي دائرة بمحيط ${\displaystyle C}$ ونصف قطر ${\displaystyle r}$ تُتساوى مساحتها مع مثلث قائم مع ضلعي القائمة ${\displaystyle C}$ وَ${\displaystyle r}$. هذه الأطروحة أُثبتت بطريقة الاستنفاد.[3]

تنص الأطروحة الثانية على أن:

نسبة مساحة الدائرة إلى مربع القطر هي ${\displaystyle {\frac {11}{14}}}$.

لم يضع أرخميدس هذه الأطروحة، ولكنّها كانت ناتجاً عن الأطروحة الثالثة.[3]

تنص الأطروحة الثالثة على أن:

نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها هي دائماً أكبر من ${\displaystyle 3{\tfrac {10}{71}}}$ ولكنّها أصغر من ${\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}}$.

وهذه الأطروحة تحصر وتُقدّر قيمة الثّابت الرياضي ط (${\displaystyle \pi }$). وقد توصّل أرخميدس إلى هذه المتباينة لقيمة ط عن طريق حصر وإحاطة الدائرة بمضلّعين ذوي 96 ضلعاً مُتشابهين.[4]

تحتوي هذه الأطروحة أيضاً على تقديرات دقيقة للجذر التربيعي لـ3 وكذلك جذور صمّاء الكبيرة؛ ولكن أرخميدس لم يُعطِ تبريراتِ عن الطريقة التي استعملها لإيجاد هذه التقديرات.[2] يحصر أرخميدس في هذه الأطروحة قيمة الجذور كمتباينات، في حالة الجذر التربيعي لـ3 تنص المتباينة على أن ${\displaystyle {\tfrac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\tfrac {265}{153}}}$. ومع ذلك فإن هذه المتباينات شبيهة بالدراسة المتعلّقة بمعادلة بيل والمتقاربات المرتبطة بالكسور المستمرة، مما يُوحي بشكوك حول مدى العلوم التي كانت في زمن أرخميدس آنذاك.