قانون نيوتن للتبريد

رقم البيوت، كمية بلا أبعاد، محدد للجسم كـ

${\displaystyle {\text{Bi}}={\frac {hL_{C}}{k_{b}}},}$

حيث

h = معامل الفيلم أو معامل انتقال الحرارة أو معامل انتقال الحرارة الحراري،

L _C = الطول المميز ، والذي يُعرَّف عمومًا بأنه حجم الجسم مقسومًا على مساحة سطح الجسم، مثل ${\displaystyle L_{C}=V_{\text{body}}/A_{\text{surface}}}$ ،

= التوصيل الحراري للجسم.

يمكن فهم الأهمية المادية لعدد Biot عن طريق تخيل تدفق الحرارة من محيط معدني ساخن غارق فجأة في حمام السباحة إلى السائل المحيط به. يواجه تدفق الحرارة مقاومتين: الأولى خارج سطح الكرة والثانية داخل المعدن الصلب (والتي تتأثر بحجم وتكوين الكرة). نسبة هذه المقاومات هي رقم BIot غير الأبعاد.

إذا تجاوزت المقاومة الحرارية في واجهة السائل/المحيط تلك المقاومة الحرارية التي يوفرها الجزء الداخلي من الكرة المعدنية، فسيكون رقم BIot أقل من واحد. بالنسبة للأنظمة التي تكون فيها أقل بكثير من واحدة، يمكن افتراض أن الجزء الداخلي من الكرة له نفس درجة الحرارة دائمًا، على الرغم من أن درجة الحرارة هذه قد تتغير، حيث تمر الحرارة داخل الكرة من السطح. معادلة وصف هذا التغير في درجة الحرارة (المتجانسة نسبيًا) داخل الجسم، هي المعادلة الأسية البسيطة الموضحة في قانون نيوتن للتبريد والتي يتم التعبير عنها من حيث اختلاف درجة الحرارة (انظر أدناه).

وعلى النقيض من ذلك، قد يكون الجسم المعدني كبيرًا، مما يؤدي إلى زيادة طول الخاصية إلى النقطة التي يزيد فيها عدد الجين الحيوي عن واحد. وفي هذه الحالة، تصبح تدرجات درجة الحرارة داخل الكرة مهمة، حتى برغم أن مادة الكروي موصّل جيد. وعلى نحو مكافئ، إذا كان الشكل الكروي مصنوع من مادة عازلة حراريًا (ضعيفة التوصيل)، مثل الخشب أو الفلين، فإن المقاومة الداخلية لتدفق الحرارة ستتجاوز تلك المقاومة عند حد السائل/الكروي، حتى مع وجود مجال أصغر بكثير. وفي هذه الحالة، سيكون رقم BIot أكبر من رقم واحد.

تشير قيم رقم البيوت الأصغر من 0.1 إلى أن التوصيل الحراري داخل الجسم أسرع بكثير من الحمل الحراري بعيدًا عن سطحه، كما أن تدرج (رياضيات) درجة الحرارة لا تذكر داخلها. يمكن أن يشير ذلك إلى إمكانية تطبيق (أو عدم قابلية التطبيق) أساليب معينة لحل مشاكل انتقال الحرارة العابرة. على سبيل المثال على سبيل المثال، يشير الرقم Biot أقل من 0.1 عادةً إلى خطأ أقل من 5% عند افتراض وجود نموذج مواسعة مؤقتة لنقل الحرارة العابرة (يسمى أيضًا تحليل النظام المتكتل). [7] وعادة ما يؤدي هذا النوع من التحليل إلى سلوك بسيط أسي للتدفئة أو التبريد ("تبريد أو تسخين نيوتونيان") لأن الطاقة الداخلية للجسم تتناسب بشكل مباشر مع درجة حرارته، والتي تحدد بدورها معدل انتقال الحرارة إليه أو منه. وهذا يؤدي إلى معادلة تفاضلية بسيطة من الدرجة الأولى تصف انتقال الحرارة في هذه الأنظمة.

إن وجود رقم BIot أصغر من 0.1 يحمل مادة على أنها "رقيقة حرارياً"، ويمكن افتراض أن درجة الحرارة ثابتة طوال حجم المادة. بل إن العكس هو الصحيح أيضاً: يشير الرقم Biot الذي يزيد عن 0.1 (مادة "سمكها حرارياً") إلى أنه لا يمكن للمرء أن يجعل هذا الافتراض، وسيتطلب الأمر معادلات أكثر تعقيداً لنقل الحرارة من أجل "التوصيل الحراري المؤقت" لوصف حقل درجة الحرارة المتفاوتة وغير المتسقة داخل جسم المادة. تم وصف الطرق التحليلية للتعامل مع هذه المشاكل، التي قد تكون موجودة للأشكال الهندسية البسيطة وناقلية حرارية للمادة الموحدة، في المقالة حولمعادلة الحرارة .

جسم يُعامل كجسم مواسعة، بطاقة داخلية إجمالية تبلغ ${\displaystyle U}$ (في جول), يتميز بدرجة حرارة داخلية موحدة واحدة، ${\displaystyle T(t)}$.السعة الحرارية، ${\displaystyle C}$من الجسم ${\displaystyle C=dU/dT}$ (في J/K) ،بالنسبة إلى المادة غير القابلة للضغط. يمكن كتابة الطاقة الداخلية من حيث درجة حرارة الجسم ومواسعة الحرارة (التي يتم أخذها لتكون مستقلة عن درجة الحرارة) ودرجة حرارة مرجعية تكون فيها الطاقة الداخلية صفراً: ${\displaystyle U=C(T-T_{\text{ref}})}$.

التفريق ${\displaystyle U}$ فيما يتعلق بالوقت يعطي:

${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=C\,{\frac {dT}{dt}}.}$

تطبيق القانون الأول للديناميكا الحرارية على الجسم المتكتل أَعْطَى${\displaystyle dU/dt=-Q}$ ، حيث تنتقل الحرارة خارج الجسم، ${\displaystyle Q}$ ، يمكن التعبير عنه بقانون تبريد نيوتن (Newton)، وفي حالة عدم حدوث نقل عمل للمواد غير القابلة للضغط. وهكذا،

${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-{\frac {hA}{C}}(T(t)-T_{\text{env}})=-{\frac {1}{\tau }}\Delta T(t),}$

حيث يكون ثابت الوقت للنظام ${\displaystyle \tau =C/(hA)}$ . السعة الحرارية ${\displaystyle C}$ يمكن كتابته من حيث حرارة الجسم المحددة السعة، ${\displaystyle c}$ (J / kg-K) ، والكتلة، ${\displaystyle m}$ (كلغ). ثم ثابت الوقت ${\displaystyle \tau =mc/(hA)}$ .

وعندما تكون درجة الحرارة البيئية ثابتة في الوقت المناسب، فقد نتعرف على هذه العوامل ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$ . تصبح المعادلة

${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{\tau }}\Delta T(t).}$

حل هذه المعادلة التفاضلية، عن طريق التكامل من الحالة الأولية، هو

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\,e^{-t/\tau }.}$

حيث ${\displaystyle \Delta T(0)}$ هو فرق درجة الحرارة في الوقت المحدد 0. عند الرجوع إلى درجة الحرارة، يكون المحلول هو

${\displaystyle T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})\,e^{-t/\tau }.}$

إن الفارق في درجات الحرارة بين الجسم والبيئة لا يتجاوز إلى تضاؤل أسي كوظيفة الزمن.