قابلية التحكم لجرايمان

في نظرية التحكم، تستخدم قابلية التحكم لجرايمان في تحديد هل النظام الخطي قابل للتحكم أم لا .
لأي منظومة رصينة (نظام مستقل زمنيًا)

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

وإذا كانت القيم الذاتية ل ${\displaystyle A}$ لها قيمة سالبة حقيقة، فإن الحل الفريد ${\displaystyle W_{c}}$ لمعادلة ليابونوف

${\displaystyle AW_{c}+W_{c}A^{T}=-BB^{T}}$

موجبًا إذا كان ${\displaystyle (A,B)}$ قابلين للتحكم.
ويمكن التعبير عن قابلية التحكم لجريمان بالرمز ${\displaystyle W_{c}}$ وتكون المعادلة بالشكل التالي:

${\displaystyle W_{c}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }BB^{T}e^{A^{T}\tau }\;d\tau }$

وتستخدم مصفوفة أخرى لتحديد قابلية التحكم وهي:

${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}e^{A(t_{0}-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t_{0}-\tau )}\;d\tau }$

ويكون ${\displaystyle (A,B)}$ قابلين للتحكم إذا كانت المصفوفة ${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})}$ مصفوفة قابلة للعكس لأي قيم${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ .[1][2]
وللنظام غير المستقل زمنيًا:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}$,

${\displaystyle y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)}$

يمكن التحكم فيه على الفترة ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ . بشرط أن تكون مصوفة جرايمان ${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})}$ مصفوفة قابلة للعكس:[3]

${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )\;d\tau }$