عدد فيبوناتشي

أول 21 من أرقام فيبوناتشي (متسلسلة A000045 في OEIS)، ومرقمة بالعلامة F_ن حيث ن = 0, 1, 2,... ,20 هي:[12][13]

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16	F17	F18	F19	F20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

قد يبدو ملاحظا أن المرة 21 (13+34) تساوي 987. أو تلكم المرة 34 (21+55) تساوي 2584. باستخدام العلاقة المكررة يمكن للتسلسل أن يمتد إلى مؤشر سلبي ن. نتيجة ترضي المعادلة

فتكون المعادلة لتلك النتائج

${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.\!\,}$

وهذا التسلسل كاملا

${\displaystyle \ldots ,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots }$

حاول العلماء أن يفهموا هذه السلسلة، فقاموا بقسمة كل حد على الحد السابق له، فاكتشفوا أن هذه المتتالية تنفرد بخصائص كثيرة منها العلاقة مع النسبة الذهبية، ذلك أنه إذا اعتُبرت قسمة كل عدد من المتتالية على العدد الذي يسبقه (1÷1=1 ، 1÷2=2 ، 2÷3=1.5 ، 3÷5=1.6666666 ، 5÷8=1.6، 8÷13= 1.625، 13÷21 = 1.61538، …) يُلاحظ الاقتراب شيئا فشيئا من الرقم 1.618034 الذي يسمى الرقم الذهبي نظرا لخصائصه العجيبة في الرياضيات كما في الطبيعة.

اطلق العلماء على الرقم الذهبي اسم "فاي" أو "في" (phi) وبعد محاولة التوصل إلى النسبة بين أربعين حدا متتاليا في متتالية فيبوناتشي وجدوا انه يمكن تقريب "فاي" إلى 15 رقم عشري

Φ = 1.618033988749895, …

تتكون النسبة الذهبية من عددين هما 1.618034 و 0.618034 وكلا العددين هو المقلوب الحسابي للعدد الأخر.

الصيغة العامة لمتتالية فيبوناتشي هي :${\displaystyle F(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n})}$ مع :${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,}$ و${\displaystyle \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\,}$

و هذه بعض القيم: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,...

ويقترب ناتج قسمة كل رقم بما قبله من 1.618 شيئا فشيئا للرقم الذهبي ويسمى هذا الرقم أيضا برقم التناسب المقدس والنسبة الذهبية.

تسمى هذه الصيغة صيغة بينيت نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي جاك فيليب ماري بينيه.

يمكن إثبات صحة الجملة العامة عن طريق الاستقراء الرياضي.[14]

• الأساس: لنوضح أن التعبير صحيح من أجل ${\displaystyle n=0}$ و ${\displaystyle n=1}$ :

${\displaystyle F(0)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}}{\sqrt {5}}}={\frac {1-1}{\sqrt {5}}}=0}$

${\displaystyle F(1)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}}{\sqrt {5}}}={\frac {{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {1+{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {2{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}=1}$

• خطوة الاستقراء : تبين أنه إذا كانت ${\displaystyle F(n)}$ و ${\displaystyle F(n-1)}$ صحيحة، فإن ${\displaystyle F(n+1)}$ صحيحة أيضا. يتم ذلك على النحو الاتي.[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left(k+1\right)&=F\left(k\right)+F\left(k-1\right)\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}}{\sqrt {5}}}+{\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}+\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}}{\sqrt {5}}}\end{aligned}}}$

الدالة المولدة لمتتالية فيبوناتشي هي متسلسلة القوى التالية:

${\displaystyle s(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}.}$

هذه المتسلسلة تتقارب حين يتوفر ${\displaystyle |x|<{\frac {1}{\varphi }},}$ ولمجموعها شكل مغلق بسيط هو:

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$