دالة محدبة

تدعى الدالة ذات القيم الحقيقية ${\displaystyle f\left(x\right)}$ دالة محدبة إذا تحقّق لكل نقطتين ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$ في نطاق الدالة C ولكل ${\displaystyle \lambda }$ في المجال [0,1] ما يلي:

${\displaystyle f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\leq \lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(y\right)}$

هذا وتدعى الدالة ${\displaystyle f}$ محدبة تمامًا إذا تحقّق:

${\displaystyle f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)<\lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(y\right)}$

لكل ${\displaystyle \lambda }$ في المجال (0,1) ولكل ${\displaystyle x\leq y}$.

أمّا إذا كانت الدالة ${\displaystyle -f\left(x\right)}$ هي دالة محدبّة فتدعى الدالة ${\displaystyle \ f}$ دالة مقعرة.

ويظهر تفسير كون الدالة أحادية المتغير محدّبة إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على رسمها البياني يقع فوق الرسم البياني، يظهر من المتراجحة أعلاه، إذ أنّه إذا كانت ${\displaystyle z=\lambda x+\left(1-\lambda \right)y}$ هي نقطة تقع بين x وy (تذكير: ${\displaystyle \lambda \in \left[0,1\right]}$)، فإنّ:

${\displaystyle g\left(z\right)=\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)}$،

حيث أنّ ${\displaystyle g}$ هي معادلة الخط المستقيم (أي ${\displaystyle g\left(x\right)=f\left(x\right)}$ و${\displaystyle g\left(y\right)=f\left(y\right)}$).

• إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، فإنّ الدالتين: ${\displaystyle m(x)=\operatorname {max} \{f(x),g(x)\}}$ و${\displaystyle h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)}$ هما محدبتان كذلك؛
• إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، وكانت ${\displaystyle g}$ دالة غير تنازلية، فإنّ ${\displaystyle h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)}$؛
• تحدّب الدالة لا يتغير إثر تحويلات أفينيّة على المتغيّر، أي أنّه إذا كانت f هي دالة محدبة وكان ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$، فإنّ ${\displaystyle g\left(y\right)=f\left(Ay+b\right)}$ هي دالة محدبة، حيث ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$، ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$، ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$؛

• الدالة ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}}$ هي دالة محدبة تمامًا إذ أنّ المشتق الثاني للدالة موجب لكل x: ${\displaystyle f\,''\left(x\right)=2>0}$.
• إنّ المشتق الثاني للدالة ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{3}}$ هو ${\displaystyle 6x}$ أي أنّه غير سالب في المجموعة ${\displaystyle \{x\geq 0\}}$، ولذا فإنّ f محدّبة هناك، وغير موجب في المجموعة ${\displaystyle \{x\leq 0\}}$، أي أنّ الدالة مقعرة هناك.

• دالة مقعرة
• مجموعة محدبة
• متراجحة ينسن

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي