حلول عددية للمعادلات التفاضلية

1. معادلات تفاضلية جزئية
2. معادلات تفاضلية عادية : هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد.

1. مسائل قيم ابتدائية.
2. مسائل قيم حدية.

مسائل القيم الابتدائية:

في هذا النوع من المسائل يكون للمعادلة التفاضلية شرط ابتدائي للمتغيرات المستقلة

الشرط الابتدائي يمثل النقطة الابتدائية للدالة التي تمثل حل المعادلة التفاضلية. ,${\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,y(a)=\alpha }$

فيما يلي بعض الطرق العددية لإيجاد الحل العددي للمعادلة التفاضلية.

قبل استعراض الحل التقريبي للطرق العددية لمسالة القيمة الابتدائية نحتاج لبعض التعاريف والنظريات .

تعريف

لتكن ${\displaystyle f(t,y)}$داله نقول أن f دالة من النوع ليبتشيز في متغير y على المجموعة D ,

${\displaystyle R^{2}\subset D}$

إذا وجد L>0

${\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|\leq |y_{1}-y_{2}|}$

كلما أخذنا (t,y_1),(t,y_2) في D , يسمى L ثابت ليبتشيز للدالة f

مثال

أثبتي أن الدالة |f(t,y)=t|y تحقق شرط ليبتشيز في الفترة

${\displaystyle D=\left\{(t,y):{1\leq t\leq 2},{-3\leq y\leq 4}\right\}}$

الحل :

لأي زوج من النقاط (t,y_1),(t,y_2) في D

${\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|=|t|y_{1}|-t|y_{2}||=|t|||y_{1}|-|y_{2}||\leq 2|y_{1}-y_{2}|}$

إذا ƒ تحقق شرط ليبتشيز ${\displaystyle L=2}$

نفرض أن ${\displaystyle D=\left\{(t,y):{a\leq t\leq b},{-\infty <y<\infty }\right\}}$

بحيث ${\displaystyle f(t,y)}$ دالة متصلة على D إذا كانت f دالة تحقق شرط ليبتشيز في متغير y على المجموعة D

فإن مسألة القيمة الابتدائية

${\displaystyle y'(t)=f(t,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,{y(a)=\alpha }}$

${\displaystyle y(t)}$ لها حل وحيد في الفترة ${\displaystyle {a\leq t\leq b}}$

مثال

أستخدم نظرية(1) لإثبات أنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية

${\displaystyle y'=1+t\sin(ty),\,\,\,{0\leq t\leq 2},\,\,\,y(0)=0}$

الحل :

t ثابت نطبق نظرية القيمة المتوسطة للدالة

${\displaystyle f(t,y)=1+t\sin(ty)}$

نجد أنه عندما ${\displaystyle y<y_{2}}$ , و ${\displaystyle \xi }$ عدد موجود في ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$

${\displaystyle {\frac {f(t,y_{1})-f(t,y_{2})}{(y_{1},y_{2})}}\ ={{\frac {\partial }{\partial y}}\left(f(t,\xi )\right)=t^{2}\cos(\xi t)}}$

${\displaystyle |f(t,y_{2})-f(t,y_{1})|=|y_{2}-y_{1}||t^{2}\cos(\xi t)|\leq 4|y_{2}-y_{1}|}$

f تحقق شرط ليبتشيز والثابت هو ${\displaystyle L=4}$

وبالإضافة إلى ذلك ${\displaystyle f(t,y)}$متصلة عند ${\displaystyle {0\leq t\leq 2},\,\,\,{-\infty <y<\infty }}$

من نظرية (1) إنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية

1. طريقة اويلر
2. طريقة تايلور

${\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }$

1. الخطأ النسبي لطريقة اويلر ناتج عن اختيار أول حدين من متسلسلة تايلور وحذف باقي الحدود.
2. كلما زادت الرتبة في طريقة تايلور فإن الدقة تكون أفضل.

• numerical analysis / Richard . Burden /J.Douglas Faires /ninth edition
• مقدمة في التحليل العددي د.مجدي الطويل

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي