حد روش

يمكن اعتبار أقمار كروية على سبيل التبسيط والتقريب هنا. حد روش لقمر كروي صلب هو المسافة، ${\displaystyle d}$، من الرئيسي حيث تكون قوة الجاذبية المؤثرة على كتلة اختبارية واقعة على سطح الجسم مساوية إلى قوة المد والجزر التي تسحب الكتلة بعيدا عن سطح الجسم:[3][4]

${\displaystyle d=1.26\;R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

حيث ${\displaystyle R_{M}}$ هو نصف قطر الرئيسي، ${\displaystyle \rho _{M}}$ تمثل كثافة الرئيسي، و${\displaystyle \rho _{m}}$ كثافة القمر. يمكن كتابة هذا بصورة أخرى كما يلي

${\displaystyle d=1.26\;R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

حيث ${\displaystyle R_{m}}$ نصف قطر الثانوي، ${\displaystyle M_{M}}$ كتلة الرئيسيي، و${\displaystyle M_{m}}$ كتلة الثانوي.

اشتقاق حد روش

يمكن اشتقاق الصيغة السابقة من علاقات قوى المدر والجزر، بافتراض كتلة صغيرة ${\displaystyle u}$ موجودة على سطح القمر الأقرب للرئيسي. ستكون هناك قوتان مؤثرتان على هذه الكتلة: قوة الجاذبية التي تسحبها باتجاه مركز القمر، وقوة الجاذبية التي تسحبها باتجاه الرئيسي. بافتراض أن القمر بحالة سقوط حر حول الرئيسي وأن قوة المد والجزر تتعلق فقط بقوة جذب الرئيسي. هذا الفرض هو تبسيط بحكم أن السقوط الحر ينطبق فقط على مركز الكوكب.[5]

قوة سحب الجاذبية ${\displaystyle F_{\text{G}}}$ للكتلة ${\displaystyle u}$ باتجاه قمر كتلته ${\displaystyle m}$ ونصف قطره ${\displaystyle r}$ يمكن التعبير عنها وفقا لـقانون التجاذب المادي.

${\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$

قوة المد والجزر ${\displaystyle F_{\text{T}}}$ المؤثرة على الكتلة ${\displaystyle u}$ باتجاه الرئيسي الذي نصف قطره ${\displaystyle R}$ وكتلته ${\displaystyle M}$، على بعد ${\displaystyle d}$ بين مركزي الجسمين، يمكن التعبير عنها تقريبا بالصورة

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$.

ويكون حد روش حين تتوازن قوة الجاذبية مع قوة المد والجزر

${\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}$

أو

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$،

وهذا يعطينا حد روش ${\displaystyle d}$، بالعلاقة

${\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}$.

يمكن التخلص من نصف قطر القمر في العلاقة عبر إعادة كتابتها بدلالة الكثافتين

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$،

والتي يمكن تبسيطها إلى:

${\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$.

من الصعوبة بمكان حساب حد روش بدقة للأقمار المائعة بطريقة جبرية. كان روش قد اشتق التقريب التالي

${\displaystyle d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

هناك تقريب أفضل يأخذ تفلطح الرئيسي وكتلة القمر بعين الاعتبار كما يلي:

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}$

حيث ${\displaystyle c/R}$ تفلطح الرئيسي.