توزيع كوشي

دالة كثافته الخاصة بتوزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

أما بالنسبة لتوزيع كوشي القياسي حيث ${\displaystyle x_{0}=0\,\!}$ و ${\displaystyle \gamma =1\,\!}$ فتكون دالة الكثافة كالتالي:

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

أما في الفيزياء. فإن دالة لورنتز تأخذ الصيغة التالية:

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={I}\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

انظر معامل لورنتز.

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$