توزيع غاما المعمم

توزيع غاما المعمم له ثلاث معلمات:‌ ${\displaystyle a>0}$ ،${\displaystyle d>0}$ و ${\displaystyle p>0}$. بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ غير السالب، فإن دالة كثافة احتمالية هي:[2]

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}}}$

هنا ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ يظهردالة جاما.

دالة التوزيع التراكمي تساوي:

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}$

${\displaystyle \gamma (\cdot )}$ يظهر دالة غاما غير المكتملة.

إذا ${\displaystyle d=p}$ يصبح توزيع غاما المعمم توزيع وايبول. أيضا إذا ${\displaystyle p=1}$ ثم يصبح توزيع غاما المعمم توزيع غاما.[2]

إذا كان ${\displaystyle X}$ هو توزيع غاما المعمم، فسيكون عزم الدوران به: [3]

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}}$

إذا ${\displaystyle f_{1}}$ و ${\displaystyle f_{2}}$ دوال الكثافة هي احتمالات توزيعين معمّمين لغاما، ثم يكون تباعد كولبيك ليبلر مساويًا لـ:[4]${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \psi (\cdot )}$ هي دالة دایغما.[4]

• توزيع احتمال
• توزيع غاما
• تباعد كولباك ليبلير

• بوابة رياضيات