تحويلة بوكس كوكس

باعتبار متغير ${\displaystyle X}$، التحويلة تقضي بإيجاد عدد حقيقي ${\displaystyle \lambda }$ قيمته في المجال ${\displaystyle [-5,5]}$ وتعريف متغير جديد حسب الصيغة التالية:

${\displaystyle B(X,\lambda )={\begin{cases}{\frac {X^{\lambda }-1}{\lambda }}&{\text{, }}\lambda \neq 0\\\\ln(X)&{\text{, }}\lambda =0\end{cases}}}$. العدد ${\displaystyle \lambda }$ هو نتيجة لاستمثال رقمي يحقق أفضل متغير ${\displaystyle B(X,\lambda )}$ من منظور الاقتراب من حالة التوزيع الطبيعي. في حالة الحل ${\displaystyle \lambda =0}$، التحويلة تكون عبر الدالة اللوغاريتمية.

حسب الصيغة المقترحة، تحويلة بوكس كوكس تستلزم بيانات موجبة. في حالة وجود قيم سالبة، يمكن تطبيق التحويلة بعد تطبيق تحويلة أولية، تلغي البيانات السالبة: ${\displaystyle Y=X-min(X)}$.[1]

أمثلة

قيمة ${\displaystyle \lambda }$	صيغة التحويلة[1]
${\displaystyle -3}$	${\displaystyle Y^{-3}={\frac {1}{Y^{3}}}}$
${\displaystyle -2}$	${\displaystyle Y^{-2}={\frac {1}{Y^{2}}}}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle Y^{-1}={\frac {1}{Y}}}$
${\displaystyle -0.5}$	${\displaystyle Y^{-0.5}={\frac {1}{\sqrt {Y}}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \ln(Y)}$
${\displaystyle 0.5}$	${\displaystyle Y^{0.5}={\sqrt {Y}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle Y}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle Y^{2}}$
3	${\displaystyle Y^{3}}$

علاوة على اقترابها من فرضية التوزيع الطبيعي، تمكن تحويلة بوكس كوكس أيضا من تحسين ظروف تطبيق النمذجة الإحصائية خصوصا على مستوى الفرضيات التالية:[3]

• تحسين العلاقة الخطية بين المتغير التابع والمتغير المستقل في الانحدار الخطي، إضافة إلى تقليل فوارق التباين بين المتغيرات.
• تقليل الانحياز الناتج عن قيم متوقعة غير منعدمة للأخطاء الإحصائية.
• الاقتراب من حالة تجانس التباين بالنسبة للأخطاء الإحصائية.

تحويلة بوكس كوكس تستعمل أيضا من أجل تثبيت المتسلسلات الزمنية وتحويلها لمتسلسلات مستقرة[4] (Stationary)، وهو ما يعتبر شرطا قبليا لتطبيق نماذج الانحدار الذاتي والمتوسط المتحرك (ARMA).

• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء