تحليل إلى عوامل

كل عدد صحيح طبيعي ${\displaystyle n}$ (حيث ${\displaystyle n\geqslant 2}$) يمكن كتابته بكيفية وحيدة الشكل ${\displaystyle n=P_{1}^{\alpha _{1}}\times P_{2}^{\alpha _{2}}\times \ ...\ \times P_{k}^{\alpha _{k}}}$ حيث ${\displaystyle P_{1}}$ و ${\displaystyle P_{2}}$ و ${\displaystyle .....}$ و ${\displaystyle P_{k}}$ أعداد أولية موجبة و مختلفة و ${\displaystyle \alpha _{1}}$ و ${\displaystyle \beta }$ و ${\displaystyle ...}$ و ${\displaystyle \alpha _{k}}$ أعداد صحيحة طبيعية غير منعدمة.

نقول إننا فككنا إلى جداء عوامل أولية.

إذا كان ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ حيث ${\displaystyle n\leq -2}$ يكفي تفكيك ${\displaystyle -n}$ للحصول على تفكيك ${\displaystyle n}$.

ليكن ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ حيث ${\displaystyle n\geq 2}$

• إذا كان ${\displaystyle n}$ عددا أوليا فإن ${\displaystyle n=p^{\alpha }}$ ( حيث ${\displaystyle p=n}$ أولي و ${\displaystyle \alpha =1}$)
• إذا كان غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب ${\displaystyle q_{1}}$ و هو عدد أولي أي ${\displaystyle n=p_{1}q_{1}}$
  • إذا كان ${\displaystyle q_{1}}$ عددا أوليا فإن ${\displaystyle n=p_{1}q_{1}}$ إذن ${\displaystyle n}$ جداء عددين أوليين.
  • إذا كان ${\displaystyle q_{1}}$ غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب ${\displaystyle p_{2}}$ و هو أولي إذن : ${\displaystyle p_{1}=p_{2}q_{2}}$ ومنه ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}q_{2}}$
  • إذا كان ${\displaystyle q_{2}}$ عددا أوليا فإن ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}q_{2}}$ وهو جدا أعداد أولية.
  • إذا كان ${\displaystyle q_{2}}$ غير أولي فإنه يقبل أصغر قاسم موجب ${\displaystyle p_{3}}$ أولي ومنه ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}q_{3}}$

وهكذا نحصل على متتالية ${\displaystyle (q_{n})_{n\geq 1}}$ لأعداد صحيحة طبيعية بحيث : ${\displaystyle 1<...<q_{i}<..<q_{2}<q_{1}<n}$. بما أن مجموعة قواسم عدد صحيح طبيعي منتهية، فإنه يوجد عدد صحيح طبيعي ${\displaystyle k}$ بحيث يكون ${\displaystyle q_{k}}$ عددا أوليا و منه ${\displaystyle n=p_{1}\times p_{2}\times ...\times p_{k-1}\times p_{k}}$ نستنتج أن كل عدد صحيح طبيعي ${\displaystyle n}$ حيث ${\displaystyle (n\geq 2)}$ يكتب على الشكل ${\displaystyle n=p_{1}\times ...\times p_{k}}$ (نأخذ ${\displaystyle q_{k}=p_{k}}$) حيث ${\displaystyle p_{1}}$ و ${\displaystyle p_{2}}$ و ${\displaystyle ...}$ و ${\displaystyle p_{k}}$ أعدادا أولية أولية ليست بالضرورة مختلفة، إذن يمكن كتابة ${\displaystyle n}$ على الشكل ${\displaystyle n=p_{1}^{'\alpha _{1}}\times p_{2}^{'\alpha _{2}}\times ....\times p_{s}^{'\alpha _{s}}}$ (*) حيث ${\displaystyle p_{1}^{'}}$ و ${\displaystyle p_{2}^{'}}$ و ${\displaystyle ....}$ و ${\displaystyle p_{s}^{'}}$ أعداد أولية مثنى مثنى و ${\displaystyle \alpha _{1}}$ و ${\displaystyle \alpha _{2}}$ و ${\displaystyle ....}$ و ${\displaystyle \alpha _{s}}$ أعدادا صحيحة طبيعية غير منعدمة.