برهان مبرهنة فيرما الأخيرة بالنسبة لحالات خاصة للأس

لوحة لليونهارد أويلر رسمت من طرف جاكوب إيمانويل هاندمان.

برهن المبرهنة الأخيرة لفيرما عندما يكون الأس مساويا لثلاثة، عالم الرياضيات ليونهارد أويلر عام 1770. من أجل ذلك، اتبع أويلر نفس طريقة البرهان التي اتبعها فيرما من أجل البرهان على المبرهنة ذاتها عندما يكون الأس مساويا لأربعة. هذه الطريقة تسمى طريقة النزول غير المنتهي.

يفترض البرهان حلحلة (x, y, z) للمعادلة x³ + y³ + z³ = 0 حيث الأعداد الصحيحة غير المنعدمة x و y و z أولية فيما بينهن مثنى مثنى ولسن كلهن أعدادا موجبة. أحد هذه الأعداد ينبغي أن يكون زوجيا والآخرين فرديين. بدون فقدان للعمومية، يُفترض أن z زوجيا.

بما أن x و y فرديان، فإنهما مختلفان. إذا كانا متساويين، فإن 2x³ = −z³ هذا تناقض لأن هذه المعادلة تعني أن x زوجي.

بما أن كلا هذين العددين فردي فإن مجموعهما والفرق بينهما هما عددان زوجيان.

${\displaystyle 2u=x+y}$

${\displaystyle 2v=x-y}$

بتعويض x و y بقيمتهما، يحصل على ما يلي:

${\displaystyle -z^{3}=(u+v)^{3}+(u-v)^{3}=2u(u^{2}+3v^{2})}$

• بوابة رياضيات