براهين مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين

نجح أويلر في البرهان على هذه المبرهنة سنة 1749 وعمره الاثنان والأربعون. أدرج هذا البرهان في رسالة أرسلها إلى عالم الرياضيات الألماني كريستيان غولدباخ يعود تاريخها إلى 12 أبريل 1749. يعتمد البرهان على تقنية النزول غير المنتهي. يتمثل البرهان في خمس مراحل هن :

1. جداء عددين كل منهما مجموع مربعين، هو في حد ذاته، مجموع لمربعين

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

2.

${\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

انظر عدد صحيح غاوسي.

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات