احتمالات مورس

إمكانات مورس (الأزرق) والمذبذب التوافقي (الأخضر). على عكس مستويات الطاقة لإمكانية المذبذب التوافقي ، والتي يتم تباعدها بالتساوي بواسطة by ، فإن تباعد مستوى مورس المحتمل ينخفض مع اقتراب الطاقة من طاقة التفكك. طاقة التفكك D _e أكبر من الطاقة الحقيقية المطلوبة للتفكك D ₀ بسبب طاقة نقطة الصفر لأدنى مستوى اهتزازي ( v = 0).

وظيفة مورس للطاقة الكامنة هي كالتالي

${\displaystyle V'(r)=D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e})})^{2}}$

هنا ${\displaystyle r}$ هي المسافة بين الذرات، ${\displaystyle r_{e}}$ هي مسافة رابطة التوازن، ${\displaystyle D_{e}}$ هو العمق (محدد بالنسبة للذرات المنفصلة) ${\displaystyle a}$ يتحكم في "عرض" الإمكانات . يمكن حساب طاقة التفكك للاسنادات بطرح طاقة نقطة الصفر ${\displaystyle E_{0}}$ . يمكن العثور على ثابت القوة (الصلابة) للرابطة عن طريق توسع تايلور ${\displaystyle V'(r)}$ حول ${\displaystyle r=r_{e}}$ إلى المشتق الثاني لدالة الطاقة الكامنة، والتي يمكن من خلالها إظهار أن المعلمة، ${\displaystyle a}$ ، تكون

${\displaystyle a={\sqrt {k_{e}/2D_{e}}},}$

أي ان ${\displaystyle k_{e}}$ هو ثابت القوة عند الحد الأدنى .

نظرًا لأن صفرية الطاقة الكامنة هو أمر تعسفي ، يمكن إعادة كتابة معادلة جهد مورس بأي عدد من الطرق عن طريق إضافة أو طرح قيمة ثابتة. عندما يتم استخدامها لنمذجة التفاعل بين السطح والذرة، يمكن إعادة تعريف الطاقة صفر بحيث تصبح إمكانات مورس

${\displaystyle V(r)=V'(r)-D_{e}=D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e})})^{2}-D_{e}}$

الذي يكتب عادة هكذا

${\displaystyle V(r)=D_{e}(e^{-2a(r-r_{e})}-2e^{-a(r-r_{e})})}$

أي ان ${\displaystyle r}$ هي الآن إحداثيات متعامدة على السطح. يقترب هذا النموذج من الصفر اللانهائي ${\displaystyle r}$ ويساوي ${\displaystyle -D_{e}}$ في الحد الأدنى، أي ${\displaystyle r=r_{e}}$ . يُظهر بوضوح أن إمكانات مورس هي مزيج من مصطلح نفور قصير المدى (الأول) ومصطلح جذب طويل المدى (الأخير) ، يماثل إمكانات لينارد جونز .

مثل المذبذب التوافقي الكمومي ، يمكن العثور على طاقات وإمكانات مورس باستخدام طرق المشغل. [1] ينطوي أحد النهج على تطبيق طريقة العوامل على هاميلتون.

لكتابة الحالات الثابتة على إمكانات مورس، أي ${\displaystyle \Psi _{n}(r)}$ و ${\displaystyle E_{n}}$ و معادلة شرودنغر التالية:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+V(r)\right)\Psi _{n}(r)=E_{n}\Psi _{n}(r),}$

من المناسب إدخال المتغيرات التالية:

${\displaystyle x=ar{\text{; }}x_{e}=ar_{e}{\text{; }}\lambda ={\frac {\sqrt {2mD_{e}}}{a\hbar }}{\text{; }}\varepsilon _{n}={\frac {2m}{a^{2}\hbar ^{2}}}E_{n}.}$

بعد ذلك، تأخذ معادلة شرودنغر الشكل البسيط:

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right)\Psi _{n}(x)=\varepsilon _{n}\Psi _{n}(x),}$

${\displaystyle V(x)=\lambda ^{2}\left(e^{-2\left(x-x_{e}\right)}-2e^{-\left(x-x_{e}\right)}\right).}$

يمكن كتابة قيمها الذاتية و ال الحالات الخاصة على النحو التالي: [2]

${\displaystyle \varepsilon _{n}=-\left(\lambda -n-{\frac {1}{2}}\right)^{2},}$

أي

${\displaystyle n=0,1,\ldots ,\left[\lambda -{\frac {1}{2}}\right],}$

حيث تشير [x] إلى أكبر عدد صحيح أصغر من x.

${\displaystyle \Psi _{n}(z)=N_{n}z^{\lambda -n-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}z}L_{n}^{(2\lambda -2n-1)}(z),}$

أي${\displaystyle z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}}$ و ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)}$ هو متعدد لغوير المعمم:

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {z^{-\alpha }e^{z}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(z^{n+\alpha }e^{-z}\right)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)/\Gamma (\alpha +1)}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,z),}$

يوجد أيضًا التعبير التحليلي الهام التالي لعناصر المصفوفة لعامل الإحداثيات (هنا يُفترض ${\displaystyle m>n}$ و ${\displaystyle N=\lambda -{\frac {1}{2}}}$ ) [3]

${\displaystyle \left\langle \Psi _{m}|x|\Psi _{n}\right\rangle ={\frac {2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)}}{\sqrt {\frac {(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}}.}$

الطاقة الذاتية في المتغيرات الأولية بهذا الشكل:

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{0}(n+1/2)-{\frac {\left[h\nu _{0}(n+1/2)\right]^{2}}{4D_{e}}}}$

أي ان ${\displaystyle n}$ هو عدد الذبذبات الكمية، و ${\displaystyle \nu _{0}}$ لديها وحدات من التردد، وهي مرتبطة رياضيا بكتلة الجسيمات، ${\displaystyle m}$ ، وثوابت مورس عبر

${\displaystyle \nu _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {2D_{e}/m}}.}$

في حين أن تباعد الطاقة بين مستويات الاهتزاز في المذبذب التوافقي الكمومي ثابت عند ${\displaystyle h\nu _{0}}$ ، الطاقة بين المستويات المجاورة تنخفض مع زيادة ${\displaystyle v}$ في مذبذب مورس. رياضيا، تباعد مستويات مورس

${\displaystyle E_{n+1}-E_{n}=h\nu _{0}-(n+1)(h\nu _{0})^{2}/2D_{e}.\,}$

يطابق هذا الاتجاه عدم التناسق الموجود في الجزيئات الحقيقية. ومع ذلك، فشلت هذه المعادلة فوق بعض القيم مثل ${\displaystyle n_{m}}$ أي ${\displaystyle E(n_{m}+1)-E(n_{m})}$ يتم حسابها على أنها صفر أو سلبية. على وجه التحديد:

${\displaystyle n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}}$ جزء صحيح.

يرجع هذا الفشل إلى العدد المحدود من المستويات المقيدة في إمكانات مورس، وبعض الحدود القصوى من ${\displaystyle n_{m}}$ التي لا تزال ملزمة. للطاقات التي اعلى من ${\displaystyle n_{m}}$ ، يُسمح بجميع مستويات الطاقة الممكنة، لما المعادلة ${\displaystyle E_{n}}$ لم تعد صالحة.

أدناه ${\displaystyle n_{m}}$ ، ${\displaystyle E_{n}}$ هو تقريب جيد للبنية الاهتزازية الحقيقية في الجزيئات ثنائية الذرة غير الدورية. في الواقع، تتناسب الأطياف الجزيئية الحقيقية بشكل عام مع الشكل ¹

${\displaystyle E_{n}/hc=\omega _{e}(n+1/2)-\omega _{e}\chi _{e}(n+1/2)^{2}\,}$

الثوابت ${\displaystyle \omega _{e}}$ و ${\displaystyle \omega _{e}\chi _{e}}$ يمكن أن تكون مرتبطة مباشرة بالمعلمات لاحتمالات مورس.

كما هو واضح من التحليل البعدي ، تستخدم المعادلة الأخيرة تدوينًا طيفيًا لأسباب تاريخية حيث ${\displaystyle \omega _{e}}$ يمثل انخفاض الموجة ${\displaystyle E=hc\omega }$ و ليس تردد زاوي بواسطة ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ .

امتداد مهم لإمكانية مورس التي جعلت شكل مورس مفيدًا جدًا في التحليل الطيفي الحديث هو إمكانات MLR ( Morse / Long-range ). يتم استخدام إمكانات MLR كمعيار لتمثيل البيانات الطيفية و / أو للجزيئات الدياتومية بواسطة منحنى طاقة محتمل. تم استخدامه على N ₂ ، [4] Ca ₂ ، [5] KLi، [6] MgH، [7] العديد من الحالات الإلكترونية لـ Li ₂ ، [8] [9] [10] [11] [12] Cs ₂ ، [13] [14] Sr ₂ ، [15] ArXe، [16] LiCa، [17] LiNa، [18] Br ₂ ، [19] Mg ₂ ، [20] HF، [21] [22] HCl، HBr، HI، MgD، [23] Be ₂ ، [24] BeH، [25] و NaH. [26] يتم استخدام إصدارات أكثر تعقيدًا للجزيئات متعددة الذرات.

• احتمالات مورس / بعيدة المدى
• احتمالات لينارد جونز
• الميكانيكا الجزيئية

• ¹ كتيب CRC للكيمياء والفيزياء، Ed David R. Lide ، الطبعة 87 ، القسم 9 ، الثوابت الطيفية للجزيئات DIATOMIC pp.   9-82
• Morse, P. M. (1929). "Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels". Phys. Rev. 34. صفحات 57–64. Bibcode:1929PhRv...34...57M. doi:10.1103/PhysRev.34.57. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Girifalco, L. A.; Weizer, G. V. (1959). "Application of the Morse Potential Function to cubic metals". Phys. Rev. 114 (3). صفحة 687. Bibcode:1959PhRv..114..687G. doi:10.1103/PhysRev.114.687. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Shore, Bruce W. (1973). "Comparison of matrix methods applied to the radial Schrödinger eigenvalue equation: The Morse potential". J. Chem. Phys. 59 (12). صفحة 6450. Bibcode:1973JChPh..59.6450S. doi:10.1063/1.1680025. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Keyes, Robert W. (1975). "Bonding and antibonding potentials in group-IV semiconductors". Phys. Rev. Lett. 34 (21). صفحات 1334–1337. Bibcode:1975PhRvL..34.1334K. doi:10.1103/PhysRevLett.34.1334. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Lincoln, R. C.; Kilowad, K. M.; Ghate, P. B. (1967). "Morse-potential evaluation of second- and third-order elastic constants of some cubic metals". Phys. Rev. 157 (3). صفحات 463–466. Bibcode:1967PhRv..157..463L. doi:10.1103/PhysRev.157.463. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Dong, Shi-Hai; Lemus, R.; Frank, A. (2001). "Ladder operators for the Morse potential". Int. J. Quantum Chem. 86 (5). صفحات 433–439. doi:10.1002/qua.10038. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Zhou, Yaoqi; Karplus, Martin; Ball, Keith D.; Bery, R. Stephen (2002). "The distance fluctuation criterion for melting: Comparison of square-well and Morse Potential models for clusters and homopolymers". J. Chem. Phys. 116 (5). صفحات 2323–2329. doi:10.1063/1.1426419. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• IG Kaplan ، في كتيب الفيزياء الجزيئية وكيمياء الكم، وايلي، 2003 ، ص 207.

• بوابة الفيزياء
• بوابة الكيمياء