إكمال المربع

يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين

${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.\,\!}$

مثال:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$

ففي أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، ويكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p².

في كثيرة الحدود التربيعية التالية:

${\displaystyle x^{2}+10x+28.\,\!}$

نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .

${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.\,\!}$

بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:

${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$

وهذا ما يسمى إكمال المربع.

لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل x يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:

${\displaystyle x^{2}+bx+c,\,\!}$

يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين

${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$

وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب

${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$

حيث k هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع. ومثالا لذلك:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$

لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل x لا يساوي 1) على الصورة:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$

يمكن أن نقوم باتخاذ a معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.

مثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$

ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة

${\displaystyle a(x+h)^{2}+k.\,\!}$

يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:[1]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x+h)^{2}+k,}$

حيث:

${\displaystyle h={\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}$

• حالة خاصة عندما a=1:

${\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x+h)^{2}+k,}$

حيث:

${\displaystyle h={\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$

• وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):

${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k}$

حيث:

${\displaystyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$

ويجب أن تكون المصفوفة ${\displaystyle A}$ متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).

أما لو كانت المصفوفة ${\displaystyle A}$ غير متماثلة فإن صيغة حساب ${\displaystyle h}$ و ${\displaystyle k}$ يتم تغييرها إلى الصورة العامة:

${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$.

و

${\displaystyle k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$.

يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة. مثال للجذور غير النسبية:

${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.\,\!}$

بإكمال المربع نحصل على

${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,\,\!}$

وبالتالي

${\displaystyle (x-5)^{2}=7.\,\!}$

إذن إما

${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}},\,}$

إذن

${\displaystyle x=5-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x=5+{\sqrt {7}}.\,}$

وعادةً تكتب على الصورة:

${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.\,}$

ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:

${\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}$

حيث الرمز i يساوي ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,}$

يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$

باستخدام قواعد التكامل

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$

مثال:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$

بإكمال المربع للمقام نحصل على:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$

وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.

u = x + 3,

الذي يُنتج

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$

العلاقة التالية

${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,}$

حيث z وb هما عدادان مركبان، و ${\displaystyle b^{*},z^{*},}$ هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و c هو عدد حقيقي.

باستخدام القاعدة

${\displaystyle |u|^{2}=uu^{*},}$

يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة

${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,\!}$

والتي يتضح أنها كمية حقيقة

${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$

مثال آخر المعادلة التالية:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,\!}$

حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية، و a > 0 و b > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي: نفرض

${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$

إذن

${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$

وبالتالي

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,\!}$

إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب ${\displaystyle x\,}$ مع مقلوبه ${\displaystyle {1 \over x}\,}$ يمكننا استخدام هذه الطريقة:

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$

واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

عند تحليل المعادلة التالية

${\displaystyle x^{4}+324.\,\!}$

نجد أنها على صورة

${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},\,\!}$

وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة

${\displaystyle 2*x^{2}*(18)=36x^{2},\,\!}$

فسوف نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\end{aligned}}}$

وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$

السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير x.