نموذج درود

استجابة الالكترونات لحقل كهربائي مستمر.

ديناميكا النموذج يمكن أن تقود لقانون أوم إذا ما اعتبرنا إلى جانب قوة الحقل الكهربائي قوة ناتجة عن الاحتكاك بالايونات .

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt\right)}$

[4]

ما يعطي بتطبيق قانون نيوتن الثاني المعادلة التفاضلية التالية:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }}}$

و حلها كالتالي:

المواصلة العقدية بدلالة النبض  σ₀ = 1.

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p(0)} \rangle e^{-t/\tau }}$

في النظام الدائم أي بعد وقت أكبر من T ب10 أضعاف فإن الحد الأسي يصبح مهمل فنحصل على ما يلي:

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} }$

العلاقتان بين J كثافة التيار والسرعة و بين كمية الحركة والسرعة تكتبان كالتالي :

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle }$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle }$

و نحصل من العلاقات الثلاث على قانون أوم

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} }$