نظرية التماثل

طارة مع مولدات باللون الوردي والأحمر

يمكن أن نعين لأي فضاءٍ طوبولوجي ${\displaystyle X}$ وأي عددٍ طبيعي ${\displaystyle k}$ مجموعةً ${\displaystyle H_{k}(X)}$ تُسمى عناصرها أصناف تماثلية (ذات البعد ${\displaystyle k}$). توجد طريقة محددة لجمع وطرح الأصناف التماثلية، وهذا يحول المجموعة ${\displaystyle H_{k}(X)}$ إلى زمرة أبيلية, وتُسمى الزمرة التماثلية الرقم ${\displaystyle k}$ لـ${\displaystyle X}$، ومن الناحية التجريبية فإن حجم وبنية ${\displaystyle H_{k}(X)}$ تعطي بيانات عن عددالثقوب ذات البعد ${\displaystyle k}$ داخل ${\displaystyle X}$، على سبيل المثال: إذا كان ${\displaystyle X}$ يساوي العدد ثمانية، فإن لديه ثقبين، وفي هذا الوضع يعتبر أحادي الأبعاد. يمكن التعرف على الزمرة التماثلية المقابلة ${\displaystyle H_{1}(X)}$ عن طريق زمرة ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ من أزواج الأعداد الصحيحة مع نسخة واحدة من ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ لكل ثقب. وعلى الرغم من ثبوت أن ${\displaystyle X}$ له ثقبان، إلا أن المثير للدهشة هو صعوبة صياغة ذلك رياضيًا، وهذا هو الغرض الأساسي من النظرية التماثلية.

وهذا مثالٌ أكثر تعقيدًا، إذا كان ${\displaystyle Y}$ هو زجاجة كلاين إذن يمكن التعرف على ${\displaystyle H_{1}(Y)}$ من خلال ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$، هذا ليس مجموع نسخ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ فحسب، إنه يعطي بيانات دقيقة أكثر من مجرد عدد الثقوب.

يمكن رسم التعريف الرسمي لـ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ كما يلي. عناصر ${\displaystyle H_{1}(X)}$ هي دوراتٌ أحادية البعد، لكن لا تمثل دورتان العنصر نفسه إلا إذا كانتا متماثلتان. المنحنيات المغلقة هي أبسط أنواع الدورات أحادية البعد في ${\displaystyle X}$، ويمكن أن تتكون من حلقةٍ أو أكثر. إذا أمكن للمنحنى المغلق ${\displaystyle C_{0}}$ أن يتحول شكله داخل ${\displaystyle X}$ تحولاً مستمرًا في شكل منحنى آخر ${\displaystyle C_{1}}$, إذن ${\displaystyle C_{0}}$ و${\displaystyle C_{1}}$ متماثلان ولهذا يدلان على العنصر ذاته في ${\displaystyle H_{1}(X)}$. وهذا يعرض الفكرة الرئيسية، أما التعريف الشامل فهو أكثر تعقيدًا. للمزيد من التفاصيل، اطلع على التماثلية الفردية (singular homology). يوجد أيضًا نوعًا (يُسمى التماثلية البسيطة) يعمل عندما تُعرض ${\displaystyle X}$ كـمُعَقَّد بسيط; وهذا يسهل فهمه لكنه أقل مرونةً من الناحية العملية.

على سبيل المثال، ليكن ${\displaystyle T}$ طارة، كما هو موضح إلى اليمين، وليكن ${\displaystyle C}$ هو المنحنى الوردي، وليكن ${\displaystyle D}$ المنحنى الأحمر. للأعدداد الصحيحة ${\displaystyle n}$ و${\displaystyle m}$ يوجد منحنى مغلق يدور عدد ${\displaystyle n}$ مرة حول ${\displaystyle C}$ وبعدها يدور عدد ${\displaystyle m}$ مرة حول ${\displaystyle D}$، ويرمز إلى هذا ${\displaystyle nC+mD}$. من الممكن أن نرى أن أي منحنى مغلق داخل ${\displaystyle T}$ متماثلٌ مع ${\displaystyle nC+mD}$ لبعض ${\displaystyle n}$ و${\displaystyle m}$, وبالتالي أن ${\displaystyle H_{1}(T)}$ متساوي الشكل مع ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$.

• Hilton, Peter (1988), "A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century", Mathematics Magazine, 60 (5): 282–291, JSTOR 2689545 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)

• بوابة رياضيات