معامل ارتباط كندال حسب الرتب

باعتبار عينة مكونة من ${\displaystyle n}$ فردا إحصائيا وفق متغيرين ${\displaystyle X}$ و${\displaystyle Y}$، نشير إلى القيم الملاحظة ب${\displaystyle (x_{i})}$ و (${\displaystyle y_{i}}$). نعرف أزواج الملاحظات ${\displaystyle (i,j)}$ كمتنافرة أو منسجمة كما يلي:

• الزوج ${\displaystyle (i,j)}$ يكون منسجما (Concordant): إذا كانت ${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}>x_{j}\\y_{i}>y_{j}\end{cases}}}$ أو ${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}<x_{j}\\y_{i}<y_{j}\end{cases}}}$. وهو ما يوافق ${\displaystyle (x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})>0}$.
• الزوج ${\displaystyle (i,j)}$ يكون متنافرا (Discordant): إذا كانت ${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}>x_{j}\\y_{i}<y_{j}\end{cases}}}$ أو ${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}<x_{j}\\y_{i}>y_{j}\end{cases}}}$. وهو ما يوافق ${\displaystyle (x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})<0}$.

يشار إلى عدد الأزواج المنسجمة ب ${\displaystyle C}$ وعدد الأزواج المتنافرة ب ${\displaystyle D}$

معامل كندال هو فرق بين احتمالين: احتمال أن تكون كل الأزواج منسجمة واحتمال أن تكون كل الأزواج متنافرة. معامل كندال النظري يساوي:

${\displaystyle \tau =2[(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})>0]-1}$

بالتالي، الاختلاف الجوهري بين معامل كندال ومعامل سبيرمان يكمن في كون الأخير يقيس حدة علاقة أو ارتباط إحصائي، بينما يقيس معامل كندال احتمال أن تكون كل الأزواج منسجمة (حالة ${\displaystyle \tau =0}$).[1]