مسألة توقف

مسألة التوقف هي مسألة تقرير المتعلقة بخصائص برامج الحاسوب على آلة تيورنج واحدة اي كل البرامج التي يمكن كتابتها بواسطة لغة برمجة معينة والتي تكون عمومية لتحاكي آلة تيورنج. والمسألة هي باعطائنا برنامج ومدخل للبرنامج على المرئ ان يحدد إذا ما البرنامج سوف يتوقف، في هذا السياق لا توجد اهمية معينة لتحديد الموارد مثل: وقت عمل آلة تيورنج أو كمية المساحة الاضافية التي يستغلها البرنامج انما يسمح للبرنامج ان يكون طويلا جدا وقد يستخدم الكثير من المساحة الاضافية وقد يكون وقت عمله جدا ضخم قبل ان يتوقف والمسألة ببساطة هل يمكن بناء خوارزمية التي تحدد إذا ما البرنامج يتوقف.

فللنظر للبرنامج التالي:

هذا البرنامج لن يتوقف ابدا بينما البرنامج:

سوف يتوقف بسرعة. هذا الامر قد يكون واضحا في هذين البرنامجين فاذا كان البرنامج أكثر تعقيدا هكذا صعب ان يعرف أيتوقف ام لا.

تيورنج برهن أنه لا يمكن ان يكون هنالك خوارزمية تحدد هل البرنامج يتوقف، وقد بين تيورنج ان مثل هذه الخوارزمية إذا وجدت فانها تناقض نفسها ولذا لا يمكن ان تكون موجودة.

اهمية هذه المسألة كانت في أنها أول مسألة يبرهن انها غير قابلة للتقرير اي لا يوجد خوارزمية التي يمكنها التقرير، باعطائها برنامج ومدخل للبرنامج، إذا ما البرنامج سوف يتوقف على المدخل، وقد ترتب على غير قابلية التقرير لهذه المسألة أن مسائل اخرى تبين انها غير قابلة للتقرير، ولعل أحد أهم الوسائل للتبيين ان المسائل غير قابلة للتقرير هو الاختصار، اي انه كي نبين ان مسألة ما غير قابلة للتقرير نبين انه إذا يوجد خوارزمية تحل المسألة حينها مسألة التوقف أيضا يوجد لها خوارزمية وهذا يبين انه لا يوجد خوارزمية للمسألة إذ ان هذا يناقض عدم وجود خوارزمية لمسألة التقرير، وهذا يتم عن طريق تحويل (والتحويل هو دالة رياضية) مدخلات مسألة التقرير لمدخلات للمسألة التي نريد ان نبرهن انها غير قابلة للتقرير.

لعل أحد التعميمات لنتيجة ان مسألة التوقف غير قابلة للتقرير هو قانون رايز، والذي نصه: "كل صفة ليست بديهية للدوال الجزئية التي يمكن تنفيذها بواسطة برامج لا يمكن تقريرها". القصد من التعبير "صفة ليست بديهية" معناه أن مجموعة الدوال الجزئية التي تحقق الصفة هي ليست كل الدوال الجزئية كما انه يجب ان يكون هنالك دالة واحدة على الاقل التي تحقق الصفة. مثال: الصفة: "التوقف على المدخل 0 " نلاحظ أن ليس كل الدوال تتوقف على المدخل 0 كما انه يوجد دوال تتوقف على 0 لذا فان هذه الصفة ليست بديهية لذا فهي غير قابلة للتقرير. ويجب الانتباه بأن قانون رايز لا يتحقق إذا كانت الصفة ليست للدوال الجزئية التي يمكن تنفيذها بواسطة برنامج ولكن الصفة أيضا متعلقة بالبرنامج مثل: "التوقف على المدخل 0 خلال 100 خطوة حساب" , نلاحظ ان هذه ليست صفة للدوال الجزئية فقط وانما أيضا للبرنامج وهذه المسألة يمكن تقريرها (ببساطة ننفذ البرنامج خلال 100 خطوة عندما المدخل يكون 0 إذا توقف البرنامج المخرج يكون "نعم" وخلاف هذا الإجابة "لا").

الشكل الاعتيادي لمسائل التقرير يكون على شكل مجموعة من الاشياء التي تحقق السؤال. مجموعة التوقف (halting set) هي:

{البرنامج i سوف يتوقف في حين أن x هو المدخل للبرنامج |(K:= {(i,x

وهذه المجموعة تمثل مسألة التوقف وهي مجموعة مجموعة مرقمة بشكل تراجعي اي انه يوجد دالة قابلة للحساب التي تعدد كل زوج (i,x) ولكن المجموعة المكملة غير قابلة للترقيم أو التعداد.

يوجد الكثير من المسائل التي هي اعادة صياغة لمسألة التوقف حيث أن كل مسألة يوجد لها نفس درجة تيورنج هي كذلك. امثلة لمجموعات كهذه منها:

• { i | برنامج i سوف يتوقف عندما نشغله مع المدخل 0 }
• { i | يوجد مدخل x بحيث أن البرنامج i سوف يتوقف على المدخل x }.

لعل ابرز النتائج في علم الحاسوب والرياضيات في القرن العشرين هو أن هذه المسألة غير قابلة للتقرير، والبرهان الذي اعتمده تيورنج شبيه إلى حد بعيد الوسيلة التي استخدمها كانتور ليبين أن ${\displaystyle \mathbb {R} }$ هي مجموعة لانهائية غير قابلة للعد، والوسيلة هي "القطرية" (diagonalization).

procedure NEWHALTS(M);
  if HALTS(M,M) then writeln('Yes');
  else writeln('No');

procedure OPP(P);
  if NEWHALTS(P) outputs 'Yes' then
    loop forever
  else halt;

• آلان تورنغ
• كثير حدود وكثير حدود غير قطعي
• مبرهنات عدم الاكتمال لغودل

• بوابة علم الحاسوب