مجال فاصل (رياضيات)

في الرياضيات المجال الفاصل هو مجموعة من الأرقام الحقيقية بحيث أن أي رقم يقع بين رقمين في المجموعة هو أيضا عنصر في تلك المجموعة. على سبيل المثال، مجموعة الأرقام $x$ التي تحقق أن $0 \leq x \leq 1$ هي مجال تحتوي كلا من $0$ و $1$ ، وكذلك جميع الأرقام بينهما. أمثلة أخرى للفترات هي مجموعة الأرقام الحقيقية $\mathbb {R}$ ، كذلك مجموعة الأرقام الحقيقية السالبة، والمجموعة الفارغة.

إضافة x + a على خط الأعداد. كل الأرقام أكبر من x وأقل من x + a تقع في تلك المجال المفتوحة.

تلعب المجالات دورًا مهمًا في نظرية التكامل، لأنها أبسط مجموعة يسهل تعريف "حجمها" أو "قياسها" أو "طولها". يمكن بعد ذلك توسيع مفهوم القياس ليشمل مجموعات أكثر تعقيدًا من الأعداد الحقيقية، مما يؤدي إلى قياس بوريل وفي نهاية المطاف إلى مقياس ليبيج.

يتم تعريف المجالات على مجموعة اختيارية مرتبة ترتيبا كليا ، مثل الأعداد الصحيحة أو الأرقام الكسرية. يتم مراعاة تدوين المجالات الصحيحة في القسم الخاص أدناه.

المصطلحات

المجال المفتوحة لا تشمل نقاط النهاية، ويشار إليها بأقواس مدورة "(". على سبيل المثال: $(0,1)$ تعني أكبر من $0$ وأقل من $1$ .
المجال المغلقة هو مجال تتضمن جميع نقاطها المحددة، ويُشار إليه بأقواس مربعة "]". على سبيل المثال: $[0,1]$ تعني أكبر من أو تساوي $0$ وأقل من أو تساوي $1$ .
تتضمن المجال نصف المفتوحة واحدة فقط من نقاط النهاية الخاصة بها، ويتم الإشارة إليها عن طريق خلط الرموز للمجال المفتوحة والمغلقة. فمثلا: المجال $(0,1]$ تعني أكبر من $0$ وأقل من أو تساوي $1$ ، بينما المجال $[0,1)$ تعني أكبر من أو تساوي $0$ وأقل من $1$ .
المجال المتحولة (degenerate interval) هي أي مجموعة تتكون من رقم حقيقي واحد. ويضع بعض المؤلفين المجموعة الفارغة في هذا التعريف. وتُسمى المجال التي ليست فارغة وليست متحولة بالمجال غير المعتلة (proper)، وتحتوي على عدد غير محدود من العناصر.
يُقال إن المجال مُحدودة من اليسار (left-bounded) أو مُحدودة من اليمين (right-bounded) إذا كان هناك عدد حقيقي أصغر من أو أكبر من جميع عناصرها على التوالي.
يقال إن المجال محدودة (bounded) إذا كانت محدودة يسارًا ويمينًا؛ ويقال أنها غير محدودة إذا كانت خلاف ذلك. يقال إن المجال المحدودة بنهاية واحدة تكون نصف محدودة. المجموعة الفارغة هي مجال محدودة، ومجموعة كل الأرقام الحقيقية هي المجال الوحيدة غير المحدودة من كلا الطرفين. تُعرف المجال المحدودة أيضًا بفترات محددة.

المجالات المحدودة هي مجموعات محدودة، بمعنى أن قطرها (الذي يساوي الفرق المطلق بين نقاط النهاية) محدود. يمكن أن يسمى القطر طول أو عرض أو قياس أو مدى أو حجم المجال. يُعرَّف حجم المجال غير المحدودة بأنه $+\infty$ ، ويمكن تعريف حجم المجال الفارغة على أنه $0$ .

الوسط (النقطة الوسطى) للمجال المحدودة التي نقاط نهايتها هما $a$ و $b$ هو $(a + b)/2$ ، ونصف القطر هو نصف القيمة المطلقة للفرق بين a وb أي 2/| a - b |. هذه المفاهيم غير مُعَرَّفة للمجال الفارغة أو المجال غير المحدودة.

يقال إن المجال مفتوحة لليسار إذا وفقط إذا كانت لا تحتوي على حد أدنى (عنصر أصغر من جميع عناصرها الأخرى)؛ بينما يقال أنها مفتوحة لليمين إذا كانت لا تحتوي على حد أقصى (عنصر أكبر من جميع عناصرها الأخرى)؛ وتُسمى مفتوحة إذا كان ليس لديها حد أدنى ولا حد أقصى. المجال $[0,1) = {x | 0 \leq x < 1}$ ، على سبيل المثال، تكون مغلقة من اليسار ومفتوحة لليمين. المجموعة الفارغة ومجموعة كل الأرقام الحقيقة هي فترات مفتوحة، في حين أن مجموعة الأرقام الحقيقة غير السالبة هي مجال مفتوحة لليمين وليس لليسار. تتطابق المجالات المفتوحة مع المجموعات المفتوحة على خط الأعداد الحقيقية في طوبولوجيتها القياسية.

يقال إن المجال مغلقة من اليسار إذا كانت تحتوي على عنصر هو الحد الأدنى لها، وتكون مغلقة من اليمين إذا كانت تحتوي الحد الأقصى، وتسمى مغلقة إذا كانت تحتوي على كليهما. يتم عادةً توسيع هذه التعريفات لتشمل المجموعة الفارغة والمجالات غير المحدودة (يسارًا أو يمينًا)، ولذلك تتطابق المجالات المغلقة مع المجموعات المغلقة في تلك الهيكلية.

الجزء الداخلي (interior) من المجال $I$ هو أكبر مجال مفتوحة موجودة في $I$ ؛ وهو أيضًا مجموعة كل نقاط $I$ التي ليست نقاط النهاية لـ $I$ . إغلاق (closure) المجال $I$ هو أصغر مجال مغلقة تحتوي على $I$ ؛ أو هو أيضا مجموعة $I$ بالإضافة إلى نقاط النهاية.

بالنسبة إلى أي مجموعة $X$ من الأرقام الحقيقية، تكون المجال المحيطة (interval enclosure) أو (interval span) لـ $X$ هي المجال الوحيدة التي تحتوي على $X$ ولا تحتوي بشكل صحيح على أي مجال أخرى تحتوي أيضًا على $X$ .

ملاحظة على المصطلحات المتعارضة

تم استخدام مصطلحات مقطع (segment) ومجال (interval) في الأوراق العلمية المنشورة بطريقتين متناقضتين بشكل أساسي، مما أدى إلى غموض عند استخدام هذه المصطلحات. موسوعة الرياضيات[1] تُعَرِّف المجال (بدون توضيح) لاستبعاد كلا النهايتين (أي مجال مفتوحة) والمقطع ليشمل كلا النهايتين (أي مجال مغلقة)، في حين أن مبادئ رودين للتحليل الرياضي[2] تُسمي المجموعات على الشكل [ أ ، ب ] فترات، والمجموعات على الشكل (أ ، ب) مقاطع. عادة ما تظهر هذه المصطلحات في الكتابات القديمة؛ بينما النصوص الحديثة فتستخدم مصطلح المجال (مع بيان كونها مفتوحة أو مغلقة أو نصف مفتوحة) ، بغض النظر عما إذا كانت نقاط النهاية مدرجة أم لا.

رموز المجالات

غالبًا ما يتم الإشارة إلى المجال للأرقام بين $a$ و $b$ ، بما في ذلك $a$ و $b$ ، بالرمز $[a, b]$ (أي مجال مغلقة). يطلق على الرقمين $a$ و $b$ نقاط النهاية للمجال. في البلدان التي تُكتب فيها الأرقام بفاصلة عشرية، يمكن استخدام فاصلة منقوطة كفاصل، لتجنب اللبس.

احتواء أو استبعاد نقاط النهاية

للإشارة إلى أن إحدى نقاط النهاية لا تنتمي للمجموعة، يمكن استبدال القوس المربع "[" المقابل لها إما بأقواس مدورة "(" أو عكس القوس المربع. تم وصف كلا الترميزين في المعيار الدولي ISO 31-11. وهكذا، في تدوين باني مجموعة،

{\begin{aligned}{\color {RedOrange}(}a,b{\color {RedOrange})}={\mathopen {\color {RedOrange}]}}a,b{\mathclose {\color {RedOrange}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {RedOrange}<}x{\color {RedOrange}<}b\},\\{}{\color {OliveGreen}[}a,b{\color {RedOrange})}={\mathopen {\color {OliveGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {RedOrange}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {OliveGreen}\leq }x{\color {RedOrange}<}b\},\\{}{\color {RedOrange}(}a,b{\color {OliveGreen}]}={\mathopen {\color {RedOrange}]}}a,b{\mathclose {\color {OliveGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {RedOrange}<}x{\color {OliveGreen}\leq }b\},\\{}{\color {OliveGreen}[}a,b{\color {OliveGreen}]}={\mathopen {\color {OliveGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {OliveGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {OliveGreen}\leq }x{\color {OliveGreen}\leq }b\}.\end{aligned}}

لاحظ أن $(a, a)$ ، $[a, a)$ ، و $(a, a]$ كلها تمثل مجموعة فارغة ، بينما $[a, a]$ تشير إلى المجموعة {a}. وإذا كانت $a > b$ ، عادةً ما تؤخذ الرموز الأربعة لتمثيل المجموعة الفارغة.

قد يتداخل كلا الترميزين مع الاستخدامات الأخرى للأقواس المربعة والأقواس المدورة في الرياضيات. على سبيل المثال، يستخدم الترميز $(a, b)$ غالبًا للدلالة على زوج مرتب في نظرية المجموعة، وإحداثيات نقطة أو متجه في الهندسة التحليلية والجبر الخطي ، أو (في بعض الأحيان) عدد معقد في الجبر. هذا هو السبب في أن بورباكي قدم الترميز $] a, b [$ للإشارة إلى المجال المفتوحة.[3] يستخدم الترميز $[a, b]$ أيضًا في بعض الأحيان للأزواج المرتبة، خاصةً في علوم الكمبيوتر.

يستخدم بعض المؤلفين $] a, b [$ للدلالة على المكمل (complement) للمجال $(a, b)$ ؛ وهي كل مجموعة من الأرقام الحقيقية التي إما أن تكون "أقل من أو تساوي $a$ " أو "أكبر من أو يساوي $b$ ".

نقاط النهاية غير المحددة

في بعض السياقات، يمكن تعريف المجال على أنها مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية الممتدة، وهي مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية موسعة مع $-\infty$ و $+\infty$ .

في هذا التفسير، تكون الرموز $[-\infty, b]$ و $(-\infty, b]$ و $[a, +\infty]$ و $[a, +\infty)$ كلها ذات معنى ومتميزة. على وجه الخصوص $(-\infty, +\infty)$ تشير إلى مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية العادية، في حين أن $[-\infty, +\infty]$ تشير إلى الأرقام الحقيقية الممتدة.

حتى في سياق الأرقام الحقيقية العادية، يمكن للمرء استخدام نقطة النهاية غير المحدودة (infinite) للإشارة إلى عدم وجود أي حدود في هذا الاتجاه. على سبيل المثال، $(0, +\infty)$ هي مجموعة من الأرقام الحقيقية الموجبة تُكتب أيضًا ℝ ⁺. يؤثر السياق على بعض التعاريف والمصطلحات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، المجال $(-\infty, +\infty)$ هي مجموعة الأرقام الحقيقية.

فترات الأعداد الصحيحة

يتم أحيانًا استخدام الترميز $[a .. b]$ عندما يكون $a$ و $b$ عددًا صحيحًا ، أو {a .. b} ، أو مجرد $a .. b$ للإشارة إلى المجال التي تحتوي كل الأعداد الصحيحة بين $a$ و $b$ ، بما في ذلك الاثنين. يستخدم هذا الترميز في بعض لغات البرمجة ؛ في لغة الباسكال، على سبيل المثال، يتم استخدامه لتحديد لتعريف مدى، يتم استخدامه في أغلب الأحيان لتحديد الحدود الدنيا والعليا لمؤشرات صالحة لمصفوفة.

دائمًا ما تحتوي فترات الأعداد الصحيحة على نقطة نهاية منخفضة أو علوية محددة (finite). لذلك، يمكن الإشارة بوضوح إلى استبعاد نقاط النهاية عن طريق كتابة $a .. b - 1$ أو $a + 1 .. b$ أو $a + 1 .. b - 1$ . نادراً ما تستخدم ترميزات القوس البديل مثل $[a .. b)$ أو $[a .. b [$ للفترات الصحيحة.

تصنيف المجالات

يمكن تصنيف فترات الأرقام الحقيقية في أحد عشر نوعًا مختلفًا مدرجًا أدناه، حيث $a$ و $b$ أرقام حقيقية، و $a<b$ $a<b$

فارغة:

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\{\}=\emptyset

متحولة:

[a,a]=\{a\}

محدودة:

مفتوحة:

(a,b)=\{x\mid a<x<b\}

مغلقة:

[a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}

مغلقة من اليسار، مفتوحة من اليمين:

[a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}

مفتوحة من اليسار، مغلقة من اليمين:

(a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}

محدودة من اليسار وغير محدودة من اليمين:

مفتوحة من اليسار:

(a,+\infty )=\{x\mid x>a\}

مغلقة من اليسار:

[a,+\infty )=\{x\mid x\geq a\}

غير محدودة من اليسار ومحدودة من اليمين:

مفتوحة من اليمين:

(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}

مغلقة من اليمين:

(-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}

غير محدودة من كلا الطرفين (مفتوح ومغلق في وقت واحد):

(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}

:

خصائص المجالات

المجالات هي بالضبط مجموعات فرعية متصلة من $\mathbb {R}$ . ويترتب على ذلك أن صورة المجال بواسطة أي دالة مستمرة هي أيضًا مجال. هذه أحد صيغ نظرية القيمة المتوسطة.

التعميمات

انظر أيضا

عدم المساواة
الرسم البياني الفاصل
الفاصل الفاصل العنصر
الفاصل الزمني (إحصائيات)

المراجع

"Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2014. اطلع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2016. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. صفحات 31. ISBN 0-07-054235-X. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
"Why is American and French notation different for open intervals (x, y) vs. ]x, y[?". hsm.stackexchange.com. مؤرشف من الأصل في 10 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 28 أبريل 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

T. Sunaga ، "نظرية الجبر الفاصل وتطبيقه على التحليل العددي" ، في: مذكرات جمعية أبحاث الهندسة التطبيقية (RAAG) ، Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. طوكيو، اليابان، 1958 ، المجلد. 2 ، ص. 29-46 (547-564) ؛ أعيد طبعه في مجلة اليابان حول الرياضيات الصناعية والتطبيقية، 2009 ، المجلد. 26 ، رقم 2-3 ، ص. 126-143.

روابط خارجية

بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] "Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. مؤرشف من الأصل في 26 ديسمبر 2014. اطلع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2016. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[2] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. صفحات 31. ISBN 0-07-054235-X. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[3] "Why is American and French notation different for open intervals (x, y) vs. ]x, y[?". hsm.stackexchange.com. مؤرشف من الأصل في 10 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 28 أبريل 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)