متطابقة أبيل

نعتبر معادلة تفاضلية عادية خطية متجانسة من الدرجة الثانية:

${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)\,y=0}$

على المجال I من مستقيم الأعداد الحقيقية مع الدوال المستمرة ذات القيمة الحقيقية أو العقدية p و q. تنص متطابقة أبيل على أن فرونيسكي ${\displaystyle W=(y_{1},y_{2})}$ لحلين حقيقيين أو عقديين ${\displaystyle y_{1}}$ و ${\displaystyle y_{2}}$ لهذه المعادلات التفاضلية هي الدالة المعرفة بالمحدد:

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)\end{vmatrix}}=y_{1}(x)\,y'_{2}(x)-y'_{1}(x)\,y_{2}(x),\qquad x\in I,}$

تحقق العلاقة

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)=C\exp {\biggl (}-\int _{x_{0}}^{x}p(x')\,{\textrm {d}}x'{\biggr )},\qquad x\in I,}$

لكل نقطة x₀ في I، حيث C هو ثابت اختياري.

• بوابة رياضيات