مبرهنة سافيتش
في نظرية التعقيد الحسابي مبرهنة سافيتش هي نتيجة اساسية مهمة تحدد العلاقة بين تعقيد المساحة القطعي وغير القطعي .[1] ونص المبرهنة هو :
في حين أنَّ ((NSPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر , ((SPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر .
البرهان
فلتكن لغة التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية , M , التي تستغل (s(n مساحة اضافية . لكل مخطط الصُوَر , G=GM,x , يوجد فيه على الأكثر رؤوس . لاحظ انَّ فقط إذا يوجد من الصورة الاولية، نرمز لها s , مسار موجه إلى الصورة النهائية، نرمز لها t , هذه المسألة تُعرف أيضا بمسألة الوصول وهي مسألة تقرير : معطى مخطط G , وكذلك رأسين s و-t ,قرر إذا ما يوجد مسار موجه بين s و- t . يمكن حل هذه المسألة بسهولة بواسطة DFS أو BFS ولكن المساحة الاضافية المستخدمة خطية (اي ) وهذا لا يفيد للمبرهنة .
نعرف (Reach(u,v,i على انه "نعم" إذا يوجد مسار بين u و- v طوله على الأكثر 2i و"لا" خلاف هذا . لاحظ انه :
- ((Reach(s,t,log(n = "نعم" فقط إذا يوجد مسار بين s و- t . (اي انه يمكننا حل مسألة الوصول)
- (Reach(u,v,i="نعم" يوجد رأس z بحيث يمكن الوصول من u إلى z وطول المسار بينهما على الأكثر , ويمكن الوصول من z إلى v حيث ان طول المسار بينهما على الأكثر .
بواسطة هذه الملاحظات امكن ان نحصل على خوارزمية عودية والتي مساحتها الاضافية التي تستخدمها على الأكثر هي .
الخوارزمية
من الملاحظات السابقة يظهر انه ليتحقق (Reach(u,v,i="نعم" يكفي ان نجد z الذي يحقق (1-Reach(u,z,i="نعم" و (1-Reach(z,v,i="نعم" , لذا كل ما علينا فعله هو ايجاد z يحقق المطلوب، لذا فاننا سوف نبحث عنه عودياً (recursively) :
def k_edge_path(s, t, k):
if k == 0:
return s == t
else if k == 1:
return s == t or (s, t) in edges
else:
for u in vertices:
if k_edge_path(s, u, floor(k / 2)) and k_edge_path(u, t, ceil(k / 2)):
return true
return false
نلحظ انه يمكن استخدام المساحة التي قد استخدمت سابقا، لذا فان المساحة الاضافية يمكن التعبير عنها بالشكل التالي :
لذا من الملاحظة الاولى : لنحل مسألة الوصول ((i=O(log(m اي : وحل هذه العلاقة العودية هو وهذا هو المطلوب .
استنتاجات
- PSPACE=NPSPACE , وهذا لان تربيع كثير الحدود هو أيضا كثير حدود .
- NL⊆L2 حيث أنَّ ((L2=SPACE(log2(n , وهذا ينبع من المبرهنة مباشرة، وكذلك لان مسألة الوصول هي مسألة كاملة في الصنف NL .
انظر أيضا
مصادر
- "معلومات عن مبرهنة سافيتش على موقع academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 27 أكتوبر 2020. الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة)
- Arora, Sanjeev; Barak, Boaz (2009), Computational complexity. A modern approach, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42426-4, Zbl = complete&q = an:1193.68112 1193.68112 الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة); الوسيط|separator=
تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) - Papadimitriou, Christos (1993), "Section 7.3: The Reachability Method", Computational Complexity (الطبعة 1st), Addison Wesley, صفحات 149–150, ISBN 0-201-53082-1 الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة); الوسيط|separator=
تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) - Savitch, Walter J. (1970), "Relationships between nondeterministic and deterministic tape complexities", Journal of Computer and System Sciences, 4 (2): 177–192, doi:10.1016/S0022-0000(70)80006-X الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة); الوسيط|separator=
تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) - Sipser, Michael (1997), "Section 8.1: Savitch's Theorem", Introduction to the Theory of Computation, PWS Publishing, صفحات 279–281, ISBN 0-534-94728-X الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة); الوسيط|separator=
تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
- بوابة علم الحاسوب