مبرهنة الجذر النسبي

نعرف كثيرة الحدود ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0}$ حيث ${\displaystyle a_{n},\cdots ,a_{0}}$ أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل ${\displaystyle P(x)}$ حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في ${\displaystyle P(x)}$ نحصل على

${\displaystyle P(p/q)=a_{n}(p/q)^{n}+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\cdots +a_{1}(p/q)+a_{0}=0}$

وبنقل ${\displaystyle a_{0}}$ للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في ${\displaystyle q^{n}}$ وأخذ ${\displaystyle p}$ كعامل مشترك نصل إلى

${\displaystyle p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.}$

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن ${\displaystyle p}$ تقسم a₀. و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد ${\displaystyle a_{n}}$ للطرف الآخر وبالضرب في ${\displaystyle q^{n}}$ نصل إلى

${\displaystyle q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.}$

و بالمثل نستنتج أن q تقسم a_n .

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

${\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2=0\,\!}$

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد

± ${\displaystyle {\tfrac {1,2}{1,3}}\,,}$

والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

${\displaystyle 1,-1,2,-2,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}\,.}$

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.

• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (online copy، صفحة. 116, في كتب جوجل)
• Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (online copy، صفحة. 23, في كتب جوجل)

• إيريك ويستاين، Rational Zero Theorem، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• RationalRootTheorem at بلانيت ماث
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test at purplemath.com

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر