قاعدة لوبيتال

على دوال، حيث ${\displaystyle {\frac {f'(a)}{g'(a)}}}$ غير موجود بالضرورة.

لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ وحيث نهايتهما في a، وإذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ وإذا كان ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ فإن ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$.

هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.

لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على [a ; b] ونهايتهما في a لا نهائية، ولو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على [a ; b] ولو كانت ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ فإن ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$.

هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.

نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على [b ; a]

تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض a بـ ${\displaystyle \pm \infty }$.

إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {x-a}{g(x)-g(a)}}}$

بما أن f et g قابلتان للاشتقاق في a وأن الكسر ${\displaystyle {\frac {f'(a)}{g'(a)}}}$ معرّف، نستطيع أن نؤكد أن

1. g'(a) مخالف للصفر، وبالتالي g(x) مخالف للصفر على نطاق ]a ; c]

2. ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {x-a}{g(x)-g(a)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}}$

يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت (g(x مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ حيث :

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0

بما أن (g(x مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]

لكل عدد حقيقي x من ]a ; b[، يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$. بما أن ${\displaystyle \lim _{x\to a}c=a}$ وأن ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=L}$، فإنه بالمثل لـ ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$.

يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر. بما أن (g(x مخالفة للصفر على النطاق ]a ; b[، لكل x وy مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [x ; y] في كل نطاق [x ; y]، يوجد عدد حقيقي c من [x ; y] بحيث ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$ بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه (g(x مخالفة للصفر، ويمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :

${\displaystyle f(x)=(g(x)-g(y)){\frac {f'(c)}{g'(c)}}+f(y)}$

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=\left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right){\frac {f'(c)}{g'(c)}}+{\frac {f(y)}{g(x)}}}$

بما أن ${\displaystyle \lim _{t\to a}{\frac {f'(t)}{g'(t)}}=L}$، وc تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار y بحيث يكون ${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$ قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل x من ]a ; a + r[.

للنهايات في ${\displaystyle \pm \infty }$، يكفي أن نضع ${\displaystyle x=1/t}$ ونحاول أن نجد نهاية في ${\displaystyle 0}$.

لتكن ${\displaystyle f}$ و${\displaystyle g}$ دالّتين معرّفتين على ${\displaystyle [M>0;+\infty [}$، قابلتين للاشتقاق على ${\displaystyle ]M;+\infty [}$، إذا كانت ${\displaystyle g'(x)}$ مخالفة للصفر وكانت ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ فإن

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(1/t)}{g(1/t)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {(-1/t^{2})f'(1/t)}{(-1/t^{2})g'(1/t)}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$