قائمة تكاملات الدوال اللوغاريتمية

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

هذه قائمة خاصة بـ تكاملات الدوال اللوغاريتمية.

تكاملات تحتوي فقط على الدوال اللوغاريتمية

\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}={\frac {x\ln x-x}{\ln a}}

\int \ln(ax)\,dx=x\ln(ax)-x

\int \ln(ax+b)\,dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-(ax+b)}{a}}

\int (\ln x)^{2}\,dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x

\int (\ln x)^{n}\,dx=x\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\frac {n!}{k!}}(\ln x)^{k}

\int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}

\int {\frac {dx}{\ln x}}=\operatorname {li} (x)

، دالة التكامل اللوغاريتمي.

\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

تكاملات تحتوي على الدوال اللوغاريتمية ودوال القوة

\int x^{m}\ln x\,dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}

\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}

\int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}

\int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {x^{m}\,dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|

\int {\frac {dx}{x\ln x\ln \ln x}}=\ln \left|\ln \left|\ln x\right|\right|

، ... وهكذا.

\int {\frac {dx}{x\ln \ln x}}=\operatorname {li} (\ln x)

\int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}

\int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int \ln(x^{2}+a^{2})\,dx=x\ln(x^{2}+a^{2})-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}

\int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln(x^{2}+a^{2})\,dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})

تكاملات تحتوي على الدوال اللوغاريتمية والمثلثية

\int \sin(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))

\int \cos(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))

تكاملات تحتوي على الدوال اللوغاريتمية والأسية

\int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)

\int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\,dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}

\int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x(\ln x)^{2}}}\right)\,dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}

n تكاملات متتالية

من أجل $n$ تكاملات متتالية، تعمِّم هذه الصيغة

\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C_{0}

إلى

\int \dotsi \int \ln x\,dx\dotsm dx={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}

انظر أيضاً

قائمة تكاملات الدوال الأسية

مصادر

Milton Abramowitz و Irene A. Stegun

"Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables"، في 1964. بعض التكاملات مسردة في الصفحة 69.

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.