رسم مينكوفسكي البياني

في دراسة علم الحركة أحادي البعد، توفر الرسوم البيانية للموضع مقابل الزمن (التي تُسمى أيضًا رسوم المسافة مقابل الزمن البيانية أو رسوم بّي تي البيانية) وسيلة مفيدة لوصف الحركة. تتضح الميزات المحددة لحركة الأجسام من خلال شكل الخطوط وميلها.[1] في الشكل المصاحب، يتحرك الجسم المرسوم بعيدًا عن نقطة الأصل بسرعة منتظمة تبلغ 1.66 متر/ثانية لمدة ست ثوان، ويتوقف لمدة خمس ثوان، ثم يعود إلى نقطة الأصل خلال سبع ثوان بسرعة غير منتظمة.

في أبسط مستوياته، يكون الرسم البياني للزمكان مجرد رسم بياني للزمن مقابل الموضع، مع تبديل اتجاهات محاور رسم بّي تي المعتاد، أي أن المحور الرأسي يشير إلى الزمن في حين يشير المحور الأفقي إلى الإحداثيات المكانية. تُضرب قيم المحور الزمني لرسم الزمكان البياني بقيمة سرعة الضوء سي c، خصوصًا في النسبية الخاصة (إس آر)، وبالتالي يُعبر عنها غالبًا بـ سي تي ct. يغير هذا أبعاد الكمية الفيزيائية المعنية من <الوقت> إلى <الطول>، أي نفس أبعاد المحور المكاني، الذي يُعبر عنه بـ إكس x.

لتسهيل المقارنة بين إحداثيات الزمكان التي يقيسها المراقبون في أطر مرجعية مختلفة، من المفيد العمل باستخدام إعداد مبسط. بحذر، يسمح هذا بتبسيط الرياضيات دون فقدان التعميم في الاستنتاجات التي يتم التوصل إليها. بصرف النظر حاليًا عن الإحداثي الزمني، يُوصف إطاران جاليليو المرجعيان (أي إطاران مرجعيان تقليديان بثلاث إحداثيات مكانية)، إس S وإس برايم S^’، مع المراقبين أوه O وأوه برايم O^’ الساكنان في الإطار المرجعي الخاص بكل منهما ولكن المتحركان بالنسبة لبعضهما بسرعة v±، على أنهما في تكوين قياسي، عندما:

• تُوجه المحاور أكس x وواي y وزي z للإطار المرجعي إس بالتوازي مع المحاور الخاصة بالإطار المرجعي إس برايم.
• يتحرك الإطار إس برايم في اتجاه إكس الخاص بإطار إس بسرعة ثابتة v بالنسبة للإطار إس.
• تتطابق نقطتي الاصل لإطارين إس وإس برايم عند بداية الوقت تي = 0 في الإطار إس وتي برايم = 0 في الإطار إس برايم.[2]

يظهر هذا الإعداد المكاني في الشكل المصاحب، حيث يُوصف الإحداثيان الزمانيان بشكل منفصل: تي وتي برايم.

للتبسيط أكثر، يمكن غالبًا التركيز على اتجاه الحركة المرصود فقط وتجاهل الإحداثيين المكانيين الآخرين، ما يسمح برسم إكس وتي سي في رسم بياني ثنائي الأبعاد للزمكان، كما هو موضح أعلاه.

يشير مصطلح رسوم مينكوفسكي البيانية إلى شكل محدد من رسوم الزمكان المُستخدمة بشكل متكرر في النسبية الخاصة. يُستخدم المصطلح بالمعنى العام والخاص. بشكل عام، رسم مينكوفسكي البياني هو تصوير ثنائي الأبعاد لجزء من مكان مينكوفسكي، عادةً حيث يُختصر المكان في بعد واحد. يجري اختيار وحدات القياس في هذه الرسوم بحيث يتكون المخروط الضوئي في حدث ما من خطوط الميل زائد أو ناقص واحد خلال هذا الحدث.[2] تتوافق الخطوط الأفقية مع المفهوم المعتاد للأحداث المتزامنة لمراقب ثابت عند نقطة الأصل.

توضح رسوم مينكوفسكي البيانية نتيجة تحويلات لورنتز. تربط تحويلات لورينتز بين إطارين مرجعيين قصوريين، حيث يقوم مراقب ثابت في الحدث (0، 0) بتغيير سرعته على طول محور إكس. يشكل المحور الزمني الجديد للمراقب زاوية ألفا α مع المحور الزمني السابق، حيث α < 4/π. في الإطار المرجعي الجديد، تقع الأحداث المتزامنة على خط موازي للخط المائل بزاوية ألفا بالنسبة لخطوط التزامن السابقة. هذا هو محور إكس الجديد. تتمتع مجموعة المحاور الأصلية ومجموعة محاور برايم بخاصية التعامد بالنسبة لضرب مينكوفسكي الداخلي أو الضرب النقطي النسبي.

مهما كانت قيمة ألفا، فإن الخط إكس = تي يشكل المنصف العام.[3]

يمكن، على سبيل المثال، اختيار وحدات المكان والزمان على المحاور كأحد الأزواج التالية:

• وحدات بطول 30 سنتيمتر تقريبًا وبزمن نانوثانية.
• وحدات فلكية وفترات زمنية تبلغ نحو 8 دقائق و19 ثانية (499 ثانية).
• سنوات ضوئية وسنوات.
• ثانية ضوئية وثانية.

بهذه الطريقة، تُمثل مسارات الضوء بخطوط موازية للمنصف بين المحاور.