حركة توافقية بسيطة

الكتلة (m) المثبتة في زنبرك بثابت (k) تتحرك حركة توافقية بسطية بسرعة زاوية :

${\displaystyle \omega =2\pi \ f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}$

ويمكن إيجاد الزمن الدوري بالعلاقة :

${\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}.}$

الزمن الدوري للبندول البسيط لا يعتمد على كتلة الثفل المعلق وانما يتناسب طرديا مع الجذر التربيعي لطول خيطه.[1]

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الأحيان على أنها إسقاط أحادي البعد لحركة دائرية، عند دوران جسم بسرعة زاوية ${\displaystyle \omega }$ على دائرة قطرها R حول نقطة الأصل في محاور x-y فإن إسقاط موضع الجسم على محور x ومحور y يمثلان حركة توافقية بسيطة بسعة اهتزاز R وسرعة زاوية ${\displaystyle \omega }$.

الرقاص البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة إذا كانت سعة الاهتزاز صغيرة جدا.

يتكون الرقاص البسيط من كتلة مربوطة بخيط مثبت في حامل أفقي كما في الشكل صورة "الرقاص البسيط". عند إزاحة الكتلة بزاوية صغيرة (θ_م) عن الوضع الرأسي و تركها فإنها تتحرك متذبذبة على الجانبين. وتعد حركة الرقاص البسيط حركة توافقية بسيطة والزمن الدوري للكتلة المثبتة في خيط رقاص طوله ${\displaystyle \ell }$ والتعجيل الارضي ${\displaystyle g}$ يعطى بالعلاقة :

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$

الزمن الدوري يعتمد على كل من سعة الاهتزاز وكتلة الرقاص . تكون هذه العلاقة دقيقة في حالة الزوايا الصغيرة لأن السرعة الزاوية تتناسب مع جيب الموضع:

${\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha }$

حيث I هو عزم القصور الذاتي ويعطى بالعلاقة : ${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$ وعندما تكون الزاوية ${\displaystyle \theta }$ صغيرة جدا يكون ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ فتصبح العلاقة :

${\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha }$

أي ان السرعة الزاوية تتناسب مع ${\displaystyle \theta }$ (السرعة تتناسب مع الإزاحة) وذلك يحقق شرط الحركة التوافقية البسيطة.

عندما تكون الكتلة في أعلى موضع لها عند النطقة (أ)، فإن سرعتها تساوي صفراً و تكون الكتلة تحت تأثير مركبة الوزن (وجاθ_م) فإنها تعمل على نفس خط قوة الشد في الخيط. و عندما تترك الكتلة فإن الزاوية (θ) تتناقص حتى تصبح صفراً في الوضع الرأسي، ثم تبدأ بالزيادة حتى تصل إلى أكبر قيمة (θ_م) عند النقطة (ب) في الجهة المقابلة.

و بالتعويض في قانون نيوتن الثاني، نجد أن محصلة القوى في اتجاه الحركة هي:

Σ ق = ك ت، أي أن:

وجاθ = - ك ت

وحيث إن وزن الكتلة و = ك ج، ج= تسارع الجاذبية الأرضية، فإن:

ك جـ جاθ = - ك ت، أي أن:

ت = - جـ جاθ.

و بما أن (θ_م) زاوية صغيرة (θ < 15)، فإن جاθ = (طول القوس ÷ نصف القطر) ≈ (س ÷ ل)، فإن:

ت = -(جـ ÷ ل) × س ← ت = ∞ - س

لاحظ هنا أن تسارع الرقاص يتناسب عكسيا مع الإزاحة، أي أن الرقاص البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة. في زنبرك - حركة توافقية بسيطة.]] هناك العديد من الأمثلة على الحركة التوافقية البسيطة سنتناول البعض منها.

الكتلة (m) المثبتة في زنبرك بثابت (k) تتحرك حركة توافقية بسطية بسرعة زاوية :

${\displaystyle \omega =2\pi \ f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}$

ويمكن إيجاد الزمن الدوري بالعلاقة :

${\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}.}$

الزمن الدوري للبندول البسيط لا يعتمد على كتلة الثفل المعلق وانما يتناسب طرديا مع الجذر التربيعي لطول خيطه.[1]

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الأحيان على أنها إسقاط أحادي البعد لحركة دائرية، عند دوران جسم بسرعة زاوية ${\displaystyle \omega }$ على دائرة قطرها R حول نقطة الأصل في محاور x-y فإن إسقاط موضع الجسم على محور x ومحور y يمثلان حركة توافقية بسيطة بسعة اهتزاز R وسرعة زاوية ${\displaystyle \omega }$.

الرقاص البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة إذا كانت سعة الاهتزاز صغيرة جدا.

يتكون الرقاص البسيط من كتلة مربوطة بخيط مثبت في حامل أفقي كما في الشكل صورة "الرقاص البسيط". عند إزاحة الكتلة بزاوية صغيرة (θ_م) عن الوضع الرأسي و تركها فإنها تتحرك متذبذبة على الجانبين. وتعد حركة الرقاص البسيط حركة توافقية بسيطة والزمن الدوري للكتلة المثبتة في خيط رقاص طوله ${\displaystyle \ell }$ والتعجيل الارضي ${\displaystyle g}$ يعطى بالعلاقة :

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$

الزمن الدوري يعتمد على كل من سعة الاهتزاز وكتلة الرقاص . تكون هذه العلاقة دقيقة في حالة الزوايا الصغيرة لأن السرعة الزاوية تتناسب مع جيب الموضع:

${\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha }$

حيث I هو عزم القصور الذاتي ويعطى بالعلاقة : ${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$ وعندما تكون الزاوية ${\displaystyle \theta }$ صغيرة جدا يكون ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ فتصبح العلاقة :

${\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha }$

أي ان السرعة الزاوية تتناسب مع ${\displaystyle \theta }$ (السرعة تتناسب مع الإزاحة) وذلك يحقق شرط الحركة التوافقية البسيطة.

عندما تكون الكتلة في أعلى موضع لها عند النطقة (أ)، فإن سرعتها تساوي صفراً و تكون الكتلة تحت تأثير مركبة الوزن (وجاθ_م) فإنها تعمل على نفس خط قوة الشد في الخيط. و عندما تترك الكتلة فإن الزاوية (θ) تتناقص حتى تصبح صفراً في الوضع الرأسي، ثم تبدأ بالزيادة حتى تصل إلى أكبر قيمة (θ_م) عند النقطة (ب) في الجهة المقابلة.

و بالتعويض في قانون نيوتن الثاني، نجد أن محصلة القوى في اتجاه الحركة هي:

Σ ق = ك ت، أي أن:

وجاθ = - ك ت

وحيث إن وزن الكتلة و = ك ج، ج= تسارع الجاذبية الأرضية، فإن:

ك جـ جاθ = - ك ت، أي أن:

ت = - جـ جاθ.

و بما أن (θ_م) زاوية صغيرة (θ < 15)، فإن جاθ = (طول القوس ÷ نصف القطر) ≈ (س ÷ ل)، فإن:

ت = -(جـ ÷ ل) × س ← ت = ∞ - س

لاحظ هنا أن تسارع الرقاص يتناسب عكسيا مع الإزاحة، أي أن الرقاص البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة. يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الأحيان على أنها إسقاط أحادي البعد لحركة دائرية، عند دوران جسم بسرعة زاوية ${\displaystyle \omega }$ على دائرة قطرها R حول نقطة الأصل في محاور x-y فإن إسقاط موضع الجسم على محور x ومحور y يمثلان حركة توافقية بسيطة بسعة اهتزاز R وسرعة زاوية ${\displaystyle \omega }$.

عندما يقطع جسم يسير في حركة دائرية منتظمة زاوية مقدارها ∆θ في زمن مقداره ∆ز، فإنه يقطع قوسا طوله ∆ل، كما يظهر في صورة "سرعة الزاوية". و لحساب مقدار سرعته يتم تقسيم طول القوس على الفترة الزمنية؛ أي أن:

ع = ∆ل ÷ ∆ز = نق ∆θ ÷ ∆ز = نق (∆θ ÷ ∆ز)

تعرف السرعة الزاوية () بأنها مقدار الزاوية التي يقطعها الجسم أثناء الحركة الدائرية في وحدة الزمن، أي أن:

= ∆θ ÷ ∆ز. و بناء على ذلك فإن السرعة الخطية ع = نق .

ومن المعروف أن التسارع المركزي لجسم في حركة دائرة منتظمة ت_م = ع² ÷ نق = (نق )² ÷ نق = نق ². و من خلال ذلك يمكن كتابة معادلة التسارع للحركة التوافقية البسيطة كالتالي:

ت_ص = - (ت_ص ÷ نق) × ص = - ² ص

والسرعة الزاوية تساوي حاصل قسمة الزاوية الكلية التي يقطعها الجسم في دورة كاملة و تساوي (π2) على زمن الدورة (ن)، أي أن: = π2 ÷ ن، و منه د (التردد) = 1 ÷ ن = ÷ π2.

في الصورة "السرعة في الحركة الدائرية" يوجد جسم يتحرك حركة دائرية منتظمة بسرعة مقدارها (ع)، وعندما يكون اتجاه (ع) مماساً للدائرة، أي أن (ع) عمودية على نصف قطر الدائرة، و يمكن حساب مركبة السرعة في الاتجاه السيني:

لاحظ أن جيب الزاوية = جيب تمام الزاوية المتممة

ع_س = ع جا(ز)، و حيث أن ع = نق، فإن:

ع_س = نق جا(ز)

و لحساب تسارع الجسم في أي لحظة يتم تعويض المعادلة

ت_س = - ² س_م جا(ز).